मान लीजिए N बिंदु P(1, -2, 3) से बिंदुओं (4, | vedclass

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Question

(C) बिंदुओं $(4, 5, 8)$ और $(1, -7, 5)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण:$\frac{x-4}{1-4} = \frac{y-5}{-7-5} = \frac{z-8}{5-8}$$\frac{x-4}{-3} = \frac{y-

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$7$

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(C) बिंदुओं $(4, 5, 8)$ और $(1, -7, 5)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण:$\frac{x-4}{1-4} = \frac{y-5}{-7-5} = \frac{z-8}{5-8}$$\frac{x-4}{-3} = \frac{y-5}{-12} = \frac{z-8}{-3}$$-3$ से विभाजित करने पर,दिक अनुपात $(1, 4, 1)$ प्राप्त होते हैं। अतः,रेखा $\frac{x-4}{1} = \frac{y-5}{4} = \frac{z-8}{1} = \lambda$ है।रेखा पर कोई भी बिंदु $N$ $(\lambda+4, 4\lambda+5, \lambda+8)$ है।सदिश $\vec{PN} = (\lambda+4-1)\hat{i} + (4\lambda+5+2)\hat{j} + (\lambda+8-3)\hat{k} = (\lambda+3)\hat{i} + (4\lambda+7)\hat{j} + (\lambda+5)\hat{k}$ है।चूंकि $\vec{PN}$ दिक सदिश $\vec{v} = \hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}$ वाली रेखा पर लंब है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा:$(\lambda+3)(1) + (4\lambda+7)(4) + (\lambda+5)(1) = 0$$\lambda + 3 + 16\lambda + 28 + \lambda + 5 = 0$$18\lambda + 36 = 0 \Rightarrow \lambda = -2$.$\lambda = -2$ को $N$ के निर्देशांकों में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $N = (-2+4, 4(-2)+5, -2+8) = (2, -3, 6)$ प्राप्त होता है।समतल $2x - 2y + z + 5 = 0$ से बिंदु $N(2, -3, 6)$ की दूरी:$d = \frac{|2(2) - 2(-3) + 1(6) + 5|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{|4 + 6 + 6 + 5|}{\sqrt{4 + 4 + 1}} = \frac{21}{3} = 7$.

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रेखा $\frac{x+1}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-3}{-2}$ और समतल $x-2y-\lambda z=3$ के बीच का कोण $\cos^{-1}\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)$ है,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

रेखा $r = 2\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k} + \lambda(\hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k})$ और समतल $r \cdot (\hat{i} + 5\hat{j} + \hat{k}) = 5$ के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।

रेखा $\frac{x-1}{2}=\frac{y+3}{1}=\frac{z+7}{2}$ और समतल $\bar{r} \cdot(6 \hat{\imath}-2 \hat{\jmath}-3 \hat{k})=5$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

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