मान लीजिए y=f(x) अंतराल (-5,5) में तीन बार अव | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $y=f(x)$,स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = f'(x)$ है।$x=1$ पर,$f'(1) = 	an(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.$x=3$ पर,$f'(3) = \

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(B) दिया गया है $y=f(x)$,स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = f'(x)$ है।$x=1$ पर,$f'(1) = 	an(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.$x=3$ पर,$f'(3) = 	an(\frac{\pi}{4}) = 1$.समाकलन $I = \int_1^3 ((f'(t))^2 + 1) f''(t) dt$ पर विचार करें।मान लीजिए $z = f'(t)$,तो $dz = f''(t) dt$.जब $t=1$,$z = f'(1) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.जब $t=3$,$z = f'(3) = 1$.इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:$I = \int_{1/\sqrt{3}}^1 (z^2 + 1) dz = \left[ \frac{z^3}{3} + z ight]_{1/\sqrt{3}}^1$$I = (\frac{1}{3} + 1) - (\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}})$$I = \frac{4}{3} - (\frac{1}{9\sqrt{3}} + \frac{3}{3\sqrt{3}}) = \frac{4}{3} - \frac{10}{9\sqrt{3}} = \frac{4}{3} - \frac{10\sqrt{3}}{27}$.अब,$27I = 27(\frac{4}{3} - \frac{10\sqrt{3}}{27}) = 36 - 10\sqrt{3}$.$\alpha + \beta\sqrt{3}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = 36$ और $\beta = -10$ प्राप्त होता है।अतः,$\alpha + \beta = 36 - 10 = 26$.

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समाकलन $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \sec^{\frac{2}{3}} x \operatorname{cosec}^{\frac{4}{3}} x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{\frac{1}{3}}^1 \frac{(x-x^3)^{\frac{1}{3}}}{x^4} dx = $ . . . . . . .

$\int_{\frac{1}{25}}^3 \frac{e^{\frac{3}{x}}}{x^2} d x=$

$\int_1^e \frac{1 + \log x}{x} \, dx = $

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