मान लीजिए a और b वास्तविक स्थिरांक हैं,इस प्र | vedclass

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Question

(D) $f(x)$ के $\mathbb{R}$ पर अवकलनीय होने के लिए,इसे $x = 1$ पर सतत होना चाहिए। अतः,$\lim_{x 	o 1^-} f(x) = \lim_{x 	o 1^+} f(x) \implies 1^2 + 3(1

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$17$

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(D) $f(x)$ के $\mathbb{R}$ पर अवकलनीय होने के लिए,इसे $x = 1$ पर सतत होना चाहिए। अतः,$\lim_{x 	o 1^-} f(x) = \lim_{x 	o 1^+} f(x) \implies 1^2 + 3(1) + a = b(1) + 2 \implies 4 + a = b + 2 \implies a = b - 2$. साथ ही,$x = 1$ पर अवकलज का अस्तित्व होना चाहिए। $x  1$ के लिए $f'(x) = b$ है। $x = 1$ पर अवकलनीयता के लिए,$\lim_{x 	o 1^-} f'(x) = \lim_{x 	o 1^+} f'(x) \implies 2(1) + 3 = b \implies b = 5$. $a = b - 2$ में $b = 5$ रखने पर,हमें $a = 3$ प्राप्त होता है। अब,समाकलन की गणना करते हैं: $\int_{-2}^2 f(x) dx = \int_{-2}^1 (x^2 + 3x + 3) dx + \int_1^2 (5x + 2) dx$. $= \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 3x ight]_{-2}^1 + \left[ \frac{5x^2}{2} + 2x ight]_1^2$. $= \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 3 ight) - \left( \frac{-8}{3} + 6 - 6 ight) + \left( (10 + 4) - (\frac{5}{2} + 2) ight)$. $= (\frac{2 + 9 + 18}{6}) - (-\frac{8}{3}) + (14 - \frac{9}{2}) = \frac{29}{6} + \frac{16}{6} + \frac{19}{2} = \frac{45}{6} + \frac{57}{6} = \frac{102}{6} = 17$.

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निश्चित समाकलन $\int_{0}^{1} \frac{d x}{1+x^{2}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\int_{1}^{2} \frac{dx}{(x^2 - 2x + 4)^{3/2}} = \frac{k}{k+5}$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\int_{0}^{\pi /2} \{ x - [\sin x] \} \,dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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