मान लीजिए कि A एक 2 times 2 सममित आव्यूह है,ज | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} a & b \ b & d \end{bmatrix}$.दिया गया है $A \begin{bmatrix} 1 \ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \ 7 \end{bma

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$5$

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(A) मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} a & b \ b & d \end{bmatrix}$.दिया गया है $A \begin{bmatrix} 1 \ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \ 7 \end{bmatrix}$,इसलिए $a + b = 3$ और $b + d = 7$.अतः,$a = 3 - b$ और $d = 7 - b$.सारणिक $|A| = ad - b^2 = 1$.मान रखने पर,$(3 - b)(7 - b) - b^2 = 1$.$21 - 3b - 7b + b^2 - b^2 = 1 \implies 21 - 10b = 1 \implies 10b = 20 \implies b = 2$.तब $a = 3 - 2 = 1$ और $d = 7 - 2 = 5$.अतः,$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 2 & 5 \end{bmatrix}$.व्युत्क्रम आव्यूह $A^{-1} = \frac{1}{|A|} 	ext{adj}(A) = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} 5 & -2 \ -2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & -2 \ -2 & 1 \end{bmatrix}$.दिया गया है $A^{-1} = \alpha A + \beta I$,इसलिए $\begin{bmatrix} 5 & -2 \ -2 & 1 \end{bmatrix} = \alpha \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 2 & 5 \end{bmatrix} + \beta \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \alpha + \beta & 2\alpha \ 2\alpha & 5\alpha + \beta \end{bmatrix}$.अवयवों की तुलना करने पर,$2\alpha = -2 \implies \alpha = -1$.$\alpha = -1$ को $\alpha + \beta = 5$ में रखने पर,$-1 + \beta = 5 \implies \beta = 6$.अतः,$\alpha + \beta = -1 + 6 = 5$.

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