माना $y=y(x)$ अवकल समीकरण $\sec y \frac{dy}{dx} + 2x \sin y = x^3 \cos y$ का हल वक्र है,जहाँ $y(1) = 0$ है। तो $y(\sqrt{3})$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि एक वक्र $y = f(x)$ बिंदु $(1, 2)$ से गुजरता है और $x \frac{dy}{dx} + y = bx^4$ को संतुष्ट करता है,तो $b$ के किस मान के लिए $\int_{1}^{2} f(x) dx = \frac{62}{5}$ होगा?

माना $F:[3,5] \rightarrow R$ अंतराल $(3,5)$ पर एक दो बार अवकलनीय फलन है,इस प्रकार कि $F(x)=e^{-x} \int_{3}^{x} (3t^{2}+2t+4F^{\prime}(t)) \,dt$. यदि $F^{\prime}(4)=\frac{\alpha e^{\beta}-224}{(e^{\beta}-4)^{2}}$ है,तो $\alpha+\beta$ का मान $....$ है।

माना अवकल समीकरण $(\log_e(\cos y))^2 \cos y dx - (1+3x \log_e(\cos y)) \sin y dy = 0$ का हल वक्र $x=x(y), 0 < y < \frac{\pi}{2}$,$x(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2 \log_e 2}$ को संतुष्ट करता है। यदि $x(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\log_e m - \log_e n}$,जहाँ $m$ और $n$ सह-अभाज्य हैं,तो $mn$ का मान $.....$ है।

यदि $y=y(x)$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}+\frac{4x}{x^2-1}y=\frac{x+2}{(x^2-1)^{5/2}}$ का हल है,जहाँ $x > 1$,और $y(2)=\frac{2}{9}\log_e(2+\sqrt{3})$ तथा $y(\sqrt{2})=\alpha\log_e(\sqrt{\alpha}+\beta)+\beta-\sqrt{\gamma}$,जहाँ $\alpha, \beta, \gamma \in N$,तो $\alpha\beta\gamma$ का मान $........$ है।

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} - 2y \tan 2x = e^x \sec 2x$ का हल है