माना अवकल समीकरण (log_e(cos y))^2 cos y dx - | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(\ln(\cos y))^2 \cos y dx = (1+3x \ln(\cos y)) \sin y dy$ है।पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{dx}{dy} = \frac{(1+3

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$12$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण $(\ln(\cos y))^2 \cos y dx = (1+3x \ln(\cos y)) \sin y dy$ है।पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{dx}{dy} = \frac{(1+3x \ln(\cos y)) \sin y}{(\ln(\cos y))^2 \cos y} = 	an y \left( \frac{3x}{\ln(\cos y)} + \frac{1}{(\ln(\cos y))^2} ight)$ प्राप्त होता है।यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = -\frac{3 	an y}{\ln(\cos y)}$ और $Q(y) = \frac{	an y}{(\ln(\cos y))^2}$ है।समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(y) dy} = e^{\int -\frac{3 	an y}{\ln(\cos y)} dy}$ है।माना $t = \ln(\cos y)$,तो $dt = -	an y dy$। अतः,$IF = e^{\int \frac{3}{t} dt} = e^{3 \ln t} = t^3 = (\ln(\cos y))^3$।हल $x \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF dy + C$ है।$x (\ln(\cos y))^3 = \int \frac{	an y}{(\ln(\cos y))^2} \cdot (\ln(\cos y))^3 dy + C = \int 	an y \ln(\cos y) dy + C$।$t = \ln(\cos y)$ का उपयोग करने पर,$\int t (-dt) = -\frac{t^2}{2} + C$।अतः,$x (\ln(\cos y))^3 = -\frac{(\ln(\cos y))^2}{2} + C$।$x(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2 \ln 2}$ दिया गया है,हम जानते हैं कि $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$,इसलिए $\ln(\cos(\frac{\pi}{3})) = \ln(\frac{1}{2}) = -\ln 2$।मान रखने पर: $\frac{1}{2 \ln 2} (-\ln 2)^3 = -\frac{(-\ln 2)^2}{2} + C \implies -\frac{(\ln 2)^2}{2} = -\frac{(\ln 2)^2}{2} + C \implies C = 0$।इस प्रकार,$x = -\frac{1}{2 \ln(\cos y)}$।$y = \frac{\pi}{6}$ के लिए,$\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $x = -\frac{1}{2 \ln(\frac{\sqrt{3}}{2})} = -\frac{1}{2 (\frac{1}{2} \ln 3 - \ln 2)} = \frac{1}{\ln 4 - \ln 3} = \frac{1}{\ln(\frac{4}{3})}$।$\frac{1}{\ln m - \ln n}$ से तुलना करने पर,हमें $m=4, n=3$ प्राप्त होता है। चूँकि $4$ और $3$ सह-अभाज्य हैं,$mn = 12$।

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