ધારો કે વિકલ સમીકરણ (log_e(cos y))^2 cos y dx | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(\ln(\cos y))^2 \cos y dx = (1+3x \ln(\cos y)) \sin y dy$ છે.પદોને ગોઠવતા,આપણને $\frac{dx}{dy} = \frac{(1+3x \ln(\cos y)) \sin y

Vedclass · Accepted Answer

$12$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(\ln(\cos y))^2 \cos y dx = (1+3x \ln(\cos y)) \sin y dy$ છે.પદોને ગોઠવતા,આપણને $\frac{dx}{dy} = \frac{(1+3x \ln(\cos y)) \sin y}{(\ln(\cos y))^2 \cos y} = 	an y \left( \frac{3x}{\ln(\cos y)} + \frac{1}{(\ln(\cos y))^2} ight)$ મળે છે.આ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = -\frac{3 	an y}{\ln(\cos y)}$ અને $Q(y) = \frac{	an y}{(\ln(\cos y))^2}$ છે.સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(y) dy} = e^{\int -\frac{3 	an y}{\ln(\cos y)} dy}$.ધારો કે $t = \ln(\cos y)$,તો $dt = -	an y dy$. તેથી,$IF = e^{\int \frac{3}{t} dt} = e^{3 \ln t} = t^3 = (\ln(\cos y))^3$.ઉકેલ $x \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF dy + C$ છે.$x (\ln(\cos y))^3 = \int \frac{	an y}{(\ln(\cos y))^2} \cdot (\ln(\cos y))^3 dy + C = \int 	an y \ln(\cos y) dy + C$.$t = \ln(\cos y)$ લેતા,$\int t (-dt) = -\frac{t^2}{2} + C$.તેથી,$x (\ln(\cos y))^3 = -\frac{(\ln(\cos y))^2}{2} + C$.$x(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2 \ln 2}$ આપેલ છે,આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$,તેથી $\ln(\cos(\frac{\pi}{3})) = \ln(\frac{1}{2}) = -\ln 2$.કિંમત મૂકતા: $\frac{1}{2 \ln 2} (-\ln 2)^3 = -\frac{(-\ln 2)^2}{2} + C \implies -\frac{(\ln 2)^2}{2} = -\frac{(\ln 2)^2}{2} + C \implies C = 0$.આમ,$x = -\frac{1}{2 \ln(\cos y)}$.$y = \frac{\pi}{6}$ માટે,$\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી $x = -\frac{1}{2 \ln(\frac{\sqrt{3}}{2})} = -\frac{1}{2 (\frac{1}{2} \ln 3 - \ln 2)} = \frac{1}{\ln 4 - \ln 3} = \frac{1}{\ln(\frac{4}{3})}$.$\frac{1}{\ln m - \ln n}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $m=4, n=3$ મળે છે. $4$ અને $3$ પરસ્પર અવિભાજ્ય હોવાથી,$mn = 12$.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $(1+y^2) dx = (\tan^{-1} y - x) dy$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $x^{2} dy - 2xy dx = x^{4} \cos x dx$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

એક વિધેય $y = f(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $f(x) \sin 2x - \cos x + (1 + \sin^2 x) f'(x) = 0$ નું સમાધાન કરે છે,જ્યાં $f(0) = 0$ છે. તો $f(\frac{\pi}{6})$ નું મૂલ્ય શોધો.

$\left(x+2 y^3\right) \frac{d y}{d x}=y^2$ નું સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module