मान लीजिए कि $f$ और $g$ अंतराल $(-1, 1)$ पर परिभाषित वास्तविक मान वाले फलन हैं,इस प्रकार कि $g^{\prime \prime}(x)$ सतत है,$g(0) \neq 0$,$g^{\prime}(0) = 0$,$g^{\prime \prime}(0) \neq 0$,और $f(x) = g(x) \sin x$.
$\text{कथन}-1$: $\lim_{x \rightarrow 0} [g(x) \cot x - g(0) \operatorname{cosec} x] = f^{\prime \prime}(0)$.
$\text{कथन}-2$: $f^{\prime}(0) = g(0)$.

  • A
    $\text{कथन}-1$ सत्य है,$\text{कथन}-2$ सत्य है; $\text{कथन}-2$,$\text{कथन}-1$ की सही व्याख्या है।
  • B
    $\text{कथन}-1$ सत्य है,$\text{कथन}-2$ सत्य है; $\text{कथन}-2$,$\text{कथन}-1$ की सही व्याख्या नहीं है।
  • C
    $\text{कथन}-1$ सत्य है,$\text{कथन}-2$ असत्य है।
  • D
    $\text{कथन}-1$ असत्य है,$\text{कथन}-2$ सत्य है।

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यदि $F(x) = \left(f\left(\frac{x}{2}\right)\right)^2 + \left(g\left(\frac{x}{2}\right)\right)^2$,जहाँ $f^{\prime \prime}(x) = -f(x)$ और $g(x) = f^{\prime}(x)$,और $F(5) = 5$ दिया गया है,तो $F(10)$ का मान ज्ञात कीजिए।

दो फलन $f$ और $g$ के $x = 0$ पर प्रथम और द्वितीय अवकलज विद्यमान हैं और वे निम्नलिखित संबंधों को संतुष्ट करते हैं: $f(0) = \frac{2}{g(0)}$,$f'(0) = 2g'(0) = 4g(0)$,$g''(0) = 5f''(0) = 6f(0) = 3$. तो:

मान लीजिए कि प्रत्येक वास्तविक संख्या $x$ के लिए $h(x) = \min \{ x, x^2 \}$ है। तो:

समीकरण $e^{6x} - e^{4x} - 2e^{3x} - 12e^{2x} + e^{x} + 1 = 0$ के वास्तविक मूलों की संख्या है:

माना $f$ एक अवकलनीय फलन है और $x = 3$ पर $y = f(x)$ के ग्राफ के अभिलंब का समीकरण $3y = x + 18$ है। यदि $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( {3 + {{\left( {4{{\tan }^{ - 1}}x - \pi } \right)}^2}} \right) - f\left( {3 + {{\left( {f\left( 3 \right) - x - 6} \right)}^2}} \right)}}{{{{\sin }^2}\left( {x - 1} \right)}}$ है,तो:

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