मान लीजिए $-\frac{\pi}{6} < \theta < -\frac{\pi}{12}$ है। मान लीजिए $\alpha_1$ और $\beta_1$ समीकरण $x^2 - 2x \sec \theta + 1 = 0$ के मूल हैं और $\alpha_2$ और $\beta_2$ समीकरण $x^2 + 2x \tan \theta - 1 = 0$ के मूल हैं। यदि $\alpha_1 > \beta_1$ और $\alpha_2 > \beta_2$ है,तो $\alpha_1 + \beta_2$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि ${x^2} + 2x + 2xy + my - 3$ के दो परिमेय गुणनखंड हैं,तो $m$ का मान क्या होगा?

यदि दिए गए समीकरण $(\cos p-1) x^2+(\cos p) x+\sin p=0$ के मूल वास्तविक हैं,तो

$k$ के उन मानों की संख्या जिनके लिए समीकरण निकाय $(k + 1)x + 8y = 4k$ और $kx + (k + 3)y = 3k - 1$ के अनंत हल हैं,है

मान लीजिए कि $x$ और $y$ धनात्मक संख्याएँ हैं जहाँ $xy = \frac{1}{9}$,$x(y + 1) = \frac{7}{9}$,और $y(x + 1) = \frac{5}{18}$ है। $(x + 1)(y + 1)$ का मान किसके बराबर है?

मान लीजिए $p(x) = x^2 + ax + b$ के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं,जहाँ $a, b$ वास्तविक संख्याएँ हैं। सभी वास्तविक संख्या $x$ के लिए $g(x) = p(x^3)$ को परिभाषित करें। तो,निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
$I.$ $g$ के ठीक दो भिन्न वास्तविक मूल हैं।
$II.$ $g$ के दो से अधिक भिन्न वास्तविक मूल हो सकते हैं।
$III.$ एक ऐसी वास्तविक संख्या $\alpha$ मौजूद है कि सभी वास्तविक $x$ के लिए $g(x) \geq \alpha$ है।