माना f:(0, infty) rightarrow mathbb{R} एक अवक | vedclass

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Question

(A) दिया गया रैखिक अवकल समीकरण $f^{\prime}(x) + \frac{f(x)}{x} = 2$ है।समाकलन गुणक $e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln x} = x$ है।समाकलन गुणक से गुणा कर

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$\lim _{x \rightarrow 0+} f^{\prime}\left(\frac{1}{x}\right)=1$

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(A) दिया गया रैखिक अवकल समीकरण $f^{\prime}(x) + \frac{f(x)}{x} = 2$ है।समाकलन गुणक $e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln x} = x$ है।समाकलन गुणक से गुणा करने पर,हमें $\frac{d}{dx}(x f(x)) = 2x$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$x f(x) = x^2 + c$,जो सभी $x \in (0, \infty)$ के लिए $f(x) = x + \frac{c}{x}$ देता है।दिया गया है कि $f(1) 
eq 1$,इसलिए $1 + c 
eq 1$,अर्थात $c 
eq 0$.अब,$f^{\prime}(x) = 1 - \frac{c}{x^2}$.विकल्प $A$ की जाँच करने पर: $\lim _{x ightarrow 0+} f^{\prime}\left(\frac{1}{x}ight) = \lim _{x ightarrow 0+} (1 - c x^2) = 1$.विकल्प $B$ की जाँच करने पर: $\lim _{x ightarrow 0+} x f\left(\frac{1}{x}ight) = \lim _{x ightarrow 0+} x \left(\frac{1}{x} + cxight) = \lim _{x ightarrow 0+} (1 + cx^2) = 1 
eq 2$.विकल्प $C$ की जाँच करने पर: $\lim _{x ightarrow 0+} x^2 f^{\prime}(x) = \lim _{x ightarrow 0+} x^2 (1 - \frac{c}{x^2}) = \lim _{x ightarrow 0+} (x^2 - c) = -c 
eq 0$.अतः,विकल्प $A$ सही है।

माना $f:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ एक अवकलनीय फलन है,इस प्रकार कि सभी $x \in(0, \infty)$ के लिए $f^{\prime}(x)=2-\frac{f(x)}{x}$ और $f(1) \neq 1$ है। तो

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