मान लीजिए z = frac{-1 + sqrt{3}i}{2}, जहाँ i | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $z = \frac{-1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} = \omega$, जहाँ $\omega$ इकाई का घनमूल है। अतः, $\omega^3 = 1$ और $1 + \omega + \omega^2 = 0$

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$1$

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(C) दिया गया है $z = \frac{-1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} = \omega$, जहाँ $\omega$ इकाई का घनमूल है। अतः, $\omega^3 = 1$ और $1 + \omega + \omega^2 = 0$.$P = \begin{bmatrix} (-1)^r \omega^r & \omega^{2s} \ \omega^{2s} & \omega^r \end{bmatrix}$.$P^2 = \begin{bmatrix} (-1)^r \omega^r & \omega^{2s} \ \omega^{2s} & \omega^r \end{bmatrix} \begin{bmatrix} (-1)^r \omega^r & \omega^{2s} \ \omega^{2s} & \omega^r \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (-1)^{2r} \omega^{2r} + \omega^{4s} & (-1)^r \omega^{r+2s} + \omega^{r+2s} \ (-1)^r \omega^{r+2s} + \omega^{r+2s} & \omega^{4s} + \omega^{2r} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \ 0 & -1 \end{bmatrix}$.विकर्ण के अतिरिक्त अवयवों के शून्य होने के लिए: $((-1)^r + 1) \omega^{r+2s} = 0$। चूँकि $\omega 
eq 0$, इसलिए $(-1)^r + 1 = 0$ होना चाहिए, जिसका अर्थ है कि $r$ एक विषम संख्या होनी चाहिए। अतः, $r \in \{1, 3\}$।स्थिति $1$: $r = 1$। विकर्ण अवयवों से $\omega^2 + \omega^{4s} = -1$ प्राप्त होता है। चूँकि $1 + \omega + \omega^2 = 0$, इसलिए $\omega^2 + \omega = -1$। अतः, $\omega^{4s} = \omega$, जिसका अर्थ है $4s \equiv 1 \pmod 3$, इसलिए $s \equiv 1 \pmod 3$। $s \in \{1, 2, 3\}$ के लिए, $s = 1$।स्थिति $2$: $r = 3$। विकर्ण अवयवों से $\omega^6 + \omega^{4s} = -1$ प्राप्त होता है। चूँकि $\omega^3 = 1$, इसलिए $1 + \omega^{4s} = -1$, अर्थात $\omega^{4s} = -2$। यह असंभव है क्योंकि $|\omega^{4s}| = 1$।अतः, केवल एक ही मान्य युग्म $(r, s) = (1, 1)$ है। युग्मों की कुल संख्या $1$ है।

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