ધારો કે z = frac{-1 + sqrt{3}i}{2}, જ્યાં i = | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ છે કે $z = \frac{-1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} = \omega$, જ્યાં $\omega$ એ એકમનું ઘનમૂળ છે. તેથી, $\omega^3 = 1$ અને $1 + \omega + \omega^2 =

Vedclass · Accepted Answer

$1$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ છે કે $z = \frac{-1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} = \omega$, જ્યાં $\omega$ એ એકમનું ઘનમૂળ છે. તેથી, $\omega^3 = 1$ અને $1 + \omega + \omega^2 = 0$.$P = \begin{bmatrix} (-1)^r \omega^r & \omega^{2s} \ \omega^{2s} & \omega^r \end{bmatrix}$.$P^2 = \begin{bmatrix} (-1)^r \omega^r & \omega^{2s} \ \omega^{2s} & \omega^r \end{bmatrix} \begin{bmatrix} (-1)^r \omega^r & \omega^{2s} \ \omega^{2s} & \omega^r \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (-1)^{2r} \omega^{2r} + \omega^{4s} & (-1)^r \omega^{r+2s} + \omega^{r+2s} \ (-1)^r \omega^{r+2s} + \omega^{r+2s} & \omega^{4s} + \omega^{2r} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \ 0 & -1 \end{bmatrix}$.વિકર્ણ સિવાયના ઘટકો શૂન્ય થવા માટે: $((-1)^r + 1) \omega^{r+2s} = 0$. કારણ કે $\omega 
eq 0$, તેથી $(-1)^r + 1 = 0$ હોવું જોઈએ, જેનો અર્થ છે કે $r$ એકી સંખ્યા હોવી જોઈએ। આમ, $r \in \{1, 3\}$.કિસ્સો $1$: $r = 1$. વિકર્ણ ઘટકો પરથી $\omega^2 + \omega^{4s} = -1$ મળે છે. કારણ કે $1 + \omega + \omega^2 = 0$, તેથી $\omega^2 + \omega = -1$. આમ, $\omega^{4s} = \omega$, જેનો અર્થ છે કે $4s \equiv 1 \pmod 3$, તેથી $s \equiv 1 \pmod 3$. $s \in \{1, 2, 3\}$ માટે, $s = 1$.કિસ્સો $2$: $r = 3$. વિકર્ણ ઘટકો પરથી $\omega^6 + \omega^{4s} = -1$ મળે છે. કારણ કે $\omega^3 = 1$, તેથી $1 + \omega^{4s} = -1$, એટલે કે $\omega^{4s} = -2$. આ અશક્ય છે કારણ કે $|\omega^{4s}| = 1$.આમ, માત્ર એક જ માન્ય જોડ $(r, s) = (1, 1)$ છે. કુલ જોડોની સંખ્યા $1$ છે.

Similar Questions

જો $C$ અને $D$ એ વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ગણ $\mathbb{R}$ પરના બે $n \times n$ અસામાન્ય શ્રેણિકો (non-singular matrices) હોય, જેથી $CD = -DC$ થાય, તો $n$ એ:

ધારો કે $P$ અને $Q$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિકો છે જેથી $P \neq Q$. જો $P^3 = Q^3$ અને $P^2Q = Q^2P$ હોય,તો નિશ્ચાયક $\det(P^2 + Q^2)$ ની કિંમત કેટલી થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module