જો $A$ એ $3 \times 3$ ક્રમનો ચોરસ શ્રેણિક હોય અને $|A| = 2$ હોય,તો $|(A-A^T)^6| + |(A^T-A)^7|$ ની કિંમત શોધો (જ્યાં $A^T$ એ શ્રેણિક $A$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક દર્શાવે છે).

ધારો કે $R = \left\{ \begin{bmatrix} a & 3 & b \\ c & 2 & d \\ 0 & 5 & 0 \end{bmatrix} : a, b, c, d \in \{0, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19\} \right\}$. તો $R$ માં વ્યસ્ત શ્રેણિકોની સંખ્યા કેટલી છે?

નીચેના વિધાનો માટે $T$ અથવા $F$ ના સાચા ક્રમ આપો. જો વિધાન સાચું હોય તો $T$ અને ખોટું હોય તો $F$ નો ઉપયોગ કરો.
વિધાન $-1$ : જો $A$ એ વ્યસ્ત કરી શકાય તેવો $3 \times 3$ શ્રેણિક હોય અને $B$ એ $3 \times 4$ શ્રેણિક હોય,તો $A^{-1}B$ વ્યાખ્યાયિત છે.
વિધાન $-2$ : એવું ક્યારેય સાચું નથી કે $A + B, A - B$,અને $AB$ ત્રણેય વ્યાખ્યાયિત હોય.
વિધાન $-3$ : દરેક શ્રેણિક કે જેના કોઈ પણ ઘટકો શૂન્ય નથી તે વ્યસ્ત કરી શકાય તેવો હોય છે.
વિધાન $-4$ : દરેક વ્યસ્ત કરી શકાય તેવો શ્રેણિક ચોરસ હોય છે અને તેની કોઈ પણ બે હાર સમાન હોતી નથી.

જો $\Delta_{r}=\left|\begin{array}{cc}\frac{1}{3r-2} & \frac{2}{3r-5} \\ 0 & \frac{3}{3r+1}\end{array}\right|$, હોય તો $\sum_{r=1}^{33} \Delta_{r}=$

જો $\Delta=\left|\begin{array}{lll}1 & 5 & 6 \\ 0 & 1 & 7 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right|$ અને $\Delta^{\prime}=\left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 3 & 0 & 3 \\ 4 & 6 & 100\end{array}\right|$, હોય તો

ધારો કે $a = \min \{x^2 + 2x + 3, x \in R\}$ અને $b = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x \cos x}{e^x - e^{-x}}$. તો $\sum_{r=0}^n a^r b^{n-r}$ નું મૂલ્ય શોધો.