यदि $A$,$3 \times 3$ क्रम का एक वर्ग आव्यूह है और $|A| = 2$ है,तो $|(A-A^T)^6| + |(A^T-A)^7|$ का मान ज्ञात कीजिए (जहाँ $A^T$,आव्यूह $A$ का परिवर्त आव्यूह दर्शाता है)।

यदि $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ है,तो सिद्ध कीजिए कि $A^{3} - 23A - 40I = 0$ है।

मान लीजिए $\Omega$ सभी $3 \times 3$ सममित आव्यूहों का समुच्चय है जिनके सभी प्रविष्टियाँ या तो $0$ हैं या $1$ हैं। इनमें से पाँच प्रविष्टियाँ $1$ हैं और चार प्रविष्टियाँ $0$ हैं।
$1.$ $\Omega$ में आव्यूहों की संख्या है
$(A) 12$ $(B) 6$ $(C) 9$ $(D) 3$
$2.$ $\Omega$ में उन आव्यूहों $A$ की संख्या जिनके लिए रैखिक समीकरण निकाय $A\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ का एक अद्वितीय हल है,है
$(A) 4$ से कम $(B) 4$ या अधिक लेकिन $7$ से कम $(C) 7$ या अधिक लेकिन $10$ से कम $(D) 10$ या अधिक
$3.$ $\Omega$ में उन आव्यूहों $A$ की संख्या जिनके लिए रैखिक समीकरण निकाय $A\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ असंगत है,है
$(A) 0$ $(B) 2$ से अधिक $(C) 2$ $(D) 1$

$-\frac{\pi}{4}$ और $\frac{\pi}{2}$ के बीच स्थित $\theta$ और $0 \le A \le \frac{\pi}{2}$ के लिए समीकरण $\begin{vmatrix} 1 + \sin^2 A & \cos^2 A & 2 \sin 4\theta \\ \sin^2 A & 1 + \cos^2 A & 2 \sin 4\theta \\ \sin^2 A & \cos^2 A & 1 + 2 \sin 4\theta \end{vmatrix} = 0$ को संतुष्ट करने वाले मान हैं:

यदि $A$ और $B$ समान कोटि के वर्ग आव्यूह हैं,जहाँ $AB = A$ और $BA = B$ है,तो $(A + I)^5$ का मान ज्ञात कीजिए (जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह है)।

यदि सारणिक $\Delta = \begin{vmatrix} a & b & a\alpha + b \\ b & c & b\alpha + c \\ a\alpha + b & b\alpha + c & 0 \end{vmatrix} = 0$ है,तो: