ધારો કે $f(x) = \lim_{n}$ ${\rightarrow \infty} \left( \frac{n^n(x+n)(x+\frac{n}{2}) \cdots (x+\frac{n}{n})}{n!(x^2+n^2)(x^2+\frac{n^2}{4}) \cdots (x^2+\frac{n^2}{n^2})} \right)^{\frac{x}{n}}$,તમામ $x > 0$ માટે. તો
$(A)$ $f(\frac{1}{2}) \geq f(1)$
$(B)$ $f(\frac{1}{3}) \leq f(\frac{2}{3})$
$(C)$ $f^{\prime}(2) \leq 0$
$(D)$ $\frac{f^{\prime}(3)}{f(3)} \geq \frac{f^{\prime}(2)}{f(2)}$

જો $\alpha$ એ વક્રો $y = a^x$ અને $y = b^x$ વચ્ચેનો છેદખૂણો હોય,તો $\tan \alpha$ બરાબર શું થાય?

ધારો કે $f(x) = \begin{cases} 3x, & x < 0 \\ \min \{1+x+[x], x+2[x]\}, & 0 \leq x \leq 2 \\ 5, & x > 2 \end{cases}$ જ્યાં $[.]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય દર્શાવે છે. જો $\alpha$ અને $\beta$ એવા બિંદુઓની સંખ્યા હોય જ્યાં $f$ સતત નથી અને વિકલનીય નથી,તો $\alpha + \beta$ ની કિંમત ....... થાય.

$(i)$ $f(x)$ સતત છે અને તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે વ્યાખ્યાયિત છે.
$(ii)$ $f'(-5) = 0$; $f'(2)$ વ્યાખ્યાયિત નથી અને $f'(4) = 0$.
$(iii)$ $(-5, 12)$ એ $f(x)$ ના આલેખ પરનું એક બિંદુ છે.
$(iv)$ $f''(2)$ વ્યાખ્યાયિત નથી,પરંતુ $f''(x)$ બાકીના દરેક જગ્યાએ ઋણ છે.
$(v)$ $f'(x)$ ના ચિહ્નો નીચે મુજબ છે:
| $x$ | $(-\infty, -5)$ | $-5$ | $(-5, 2)$ | $2$ | $(2, 4)$ | $4$ | $(4, \infty)$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | વ્યાખ્યાયિત નથી | $+$ | $0$ | $-$ |
$y = f(x)$ નો સંભવિત આલેખ કયો છે?

વિધેય $f(x) = \sqrt{1 - \sqrt{1 - x^2}}$ માટે

ધારો કે $y(x) = (1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)(1+x^{16})$. તો $x = -1$ આગળ $y'(x) - y''(x)$ ની કિંમત શોધો: