ધારો કે P એ સમતલ sqrt{3} x+2 y+3 z=16 છે અને | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ છે કે $|\vec{u}-\vec{v}|=|\vec{v}-\vec{w}|=|\vec{w}-\vec{u}|$,તેથી $	riangle UVW$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.ધારો કે $O$ એ ઉગમબિંદુ છે. સદિશો $\vec

Vedclass · Accepted Answer

$45$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ છે કે $|\vec{u}-\vec{v}|=|\vec{v}-\vec{w}|=|\vec{w}-\vec{u}|$,તેથી $	riangle UVW$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.ધારો કે $O$ એ ઉગમબિંદુ છે. સદિશો $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ એ એકમ સદિશો છે,તેથી તેઓ $O$ પર કેન્દ્રિત $1$ ત્રિજ્યાવાળા ગોલક પર આવેલા છે.સમતલ $P: \sqrt{3}x + 2y + 3z = 16$ નું ઉગમબિંદુ $O(0,0,0)$ થી અંતર $OQ = \frac{|0+0+0-16|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 2^2 + 3^2}} = \frac{16}{\sqrt{3+4+9}} = \frac{16}{4} = 4$ છે.$S$ માંના કોઈપણ બિંદુ $(\alpha, \beta, \gamma)$ નું સમતલ $P$ થી અંતર $\frac{7}{2}$ આપેલ છે. ધારો કે $Q$ એ $O$ નો $P$ પરનો પ્રક્ષેપ છે. $U, V, W$ એ $P$ થી સમાન અંતરે હોવાથી,તેઓ એક વર્તુળ પર આવેલા છે જે ગોલક અને $P$ ને સમાંતર સમતલના છેદથી બને છે. ધારો કે આ સમતલ $P'$ છે. $O$ થી $P'$ નું અંતર $OP = OQ - PQ = 4 - \frac{7}{2} = \frac{1}{2}$ છે.ગોલક અને સમતલ $P'$ ના છેદથી બનતા વર્તુળની ત્રિજ્યા $R = \sqrt{1^2 - (1/2)^2} = \sqrt{3/4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ છે.$	riangle UVW$ સમબાજુ હોવાથી અને આ $R$ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળમાં અંતર્ગત હોવાથી,તેની બાજુની લંબાઈ $a = 2R \cos(30^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}$ છે.$	riangle UVW$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{9}{4} = \frac{9\sqrt{3}}{16}$ છે.શિરોબિંદુઓ $O, U, V, W$ વાળા ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ $= \frac{1}{3} 	imes 	ext{Area}(	riangle UVW) 	imes OP = \frac{1}{3} 	imes \frac{9\sqrt{3}}{16} 	imes \frac{1}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{32}$ છે.$\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ દ્વારા નિર્ધારિત સમાંતરબાજુ ફલકનું ઘનફળ $V = 6 	imes 	ext{ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ} = 6 	imes \frac{3\sqrt{3}}{32} = \frac{9\sqrt{3}}{16}$ છે.તેથી,$\frac{80}{\sqrt{3}} V = \frac{80}{\sqrt{3}} 	imes \frac{9\sqrt{3}}{16} = 5 	imes 9 = 45$.

Similar Questions

રેખા $\frac{x+1}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z-3}{6}$ અને સમતલ $10x+2y-11z=3$ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.

$c$ ના કયા મૂલ્ય માટે રેખા $\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 1}{-1}$ એ વક્ર $xy = c^2, z = 0$ ને છેદે છે?

બિંદુ $(\alpha, \beta, \gamma)$ માંથી સમતલ $ax + by + cz + d = 0$ પર દોરેલા લંબનું સમીકરણ શું છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module