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Question

(B) फलन $f(x) = [4x](x-\frac{1}{4})^2(x-\frac{1}{2})$ को इस प्रकार लिखा जा सकता है:$f(x) = \begin{cases} 0 & 0 < x < \frac{1}{4} \ (x-\frac{1}{4})^2(

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$A, B$

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(B) फलन $f(x) = [4x](x-\frac{1}{4})^2(x-\frac{1}{2})$ को इस प्रकार लिखा जा सकता है:$f(x) = \begin{cases} 0 & 0 $1$. सांतत्य: फलन $x = \frac{1}{2}$ और $x = \frac{3}{4}$ पर असतत है क्योंकि इन बिंदुओं पर बाईं और दाईं सीमाएँ समान नहीं हैं। अतः,कथन $(A)$ गलत है।$2$. अवकलनीयता: फलन $x = \frac{1}{4}$ पर सतत है लेकिन वहां अवकलनीय नहीं है। यह $x = \frac{1}{2}$ और $x = \frac{3}{4}$ पर असतत है। इस प्रकार,ठीक एक बिंदु $(x = \frac{1}{4})$ है जहाँ यह सतत है लेकिन अवकलनीय नहीं है। कथन $(B)$ सत्य है।$3$. अनवकलनीयता: फलन $x = \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{3}{4}$ पर अवकलनीय नहीं है। ये ठीक तीन बिंदु हैं। कथन $(C)$ गलत है।$4$. न्यूनतम मान: $x \in [\frac{1}{4}, \frac{1}{2}]$ के लिए,$f(x) = (x-\frac{1}{4})^2(x-\frac{1}{2})$। मान लीजिए $t = x-\frac{1}{4}$,तो $f(t) = t^2(t-\frac{1}{4}) = t^3 - \frac{1}{4}t^2$। $f'(t) = 3t^2 - \frac{1}{2}t = t(3t - \frac{1}{2})$। $f'(t) = 0$ रखने पर,हमें $t = \frac{1}{6}$ प्राप्त होता है। मान $(\frac{1}{6})^2(\frac{1}{6}-\frac{1}{4}) = \frac{1}{36}(-\frac{1}{12}) = -\frac{1}{432}$ है। अतः,कथन $(D)$ गलत है।

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