फलन $f(x) = [x]$,जहाँ $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन है,किस बिंदु पर संतत है?

मान लीजिए कि $f$ और $g$ वास्तविक मान वाले फलन हैं। यदि $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 f(x)-g(x)}{[f(x)+7]^{2 / 3}}=\frac{7}{4}$, $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=1$ और $\lim _{x \rightarrow 0} g(x)=\alpha$ है, तो $h(x)= \begin{cases} \sin (\alpha x), & 0 \leq x \leq \frac{\pi}{10} \\ \cos (2 \alpha x), & \frac{\pi}{10} < x \leq \frac{\pi}{5} \end{cases}$ है:

यदि फलन $f(x) = \frac{1 - \cos 4x}{8x^2}$ जहाँ $x \ne 0$ और $f(x) = k$ जहाँ $x = 0$ पर एक सतत फलन है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} x^2 - a & x < 3 \\ b\sqrt{x - 2} + a & 3 \leqslant x < 6 \\ 2x + b & x \geqslant 6 \end{cases}$ है। यदि $f(x)$ सभी $x \in R$ के लिए सतत है,तो $\frac{f(1) - f(3)}{4}$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ को $f(x)=\begin{cases} \alpha+\frac{\sin [x]}{x}, & \text{यदि } x>0 \\ 2, & \text{यदि } x=0 \\ \beta+\left[\frac{\sin x-x}{x^3}\right], & \text{यदि } x < 0 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित किया गया है,जहाँ $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है। यदि $f$ बिंदु $x=0$ पर सतत है,तो $\beta-\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f: R \rightarrow R$ को $f(x) = \begin{cases} \frac{1 + 3 x^2 - \cos 2 x}{x^2}, & x \neq 0 \\ k, & x = 0 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित किया गया है और यह $x = 0$ पर सतत है, तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।