मान लीजिए f: R rightarrow R एक अवकलनीय फलन है | vedclass

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Question

(C) दिया गया समाकलन $g(x)=\int_x^{\pi / 2} [f^{\prime}(t) \operatorname{cosec} t - f(t) \operatorname{cosec} t \cot t] dt$ है। ध्यान दें कि समाकल्य $f

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$2$

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(C) दिया गया समाकलन $g(x)=\int_x^{\pi / 2} [f^{\prime}(t) \operatorname{cosec} t - f(t) \operatorname{cosec} t \cot t] dt$ है। ध्यान दें कि समाकल्य $f(t) \operatorname{cosec} t$ के गुणनफल का $t$ के सापेक्ष अवकलज है,क्योंकि $\frac{d}{dt} [f(t) \operatorname{cosec} t] = f^{\prime}(t) \operatorname{cosec} t - f(t) \operatorname{cosec} t \cot t$. अतः,$g(x) = [f(t) \operatorname{cosec} t]_x^{\pi / 2} = f(\frac{\pi}{2}) \operatorname{cosec}(\frac{\pi}{2}) - f(x) \operatorname{cosec} x$. $f(\frac{\pi}{2})=3$ और $\operatorname{cosec}(\frac{\pi}{2})=1$ मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $g(x) = 3 - \frac{f(x)}{\sin x}$ प्राप्त होता है। अब,$\lim _{x \rightarrow 0} g(x) = \lim _{x \rightarrow 0} (3 - \frac{f(x)}{\sin x}) = 3 - \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\sin x}$. $L'H\hat{o}pital$ नियम का उपयोग करते हुए,$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\sin x} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}(x)}{\cos x} = \frac{f^{\prime}(0)}{\cos 0} = \frac{1}{1} = 1$. इसलिए,$\lim _{x \rightarrow 0} g(x) = 3 - 1 = 2$.

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समीकरण $\log_{e} x + ex = 0$ के वास्तविक मूलों की संख्या है

मान लीजिए $f(x)$,$[-2, 2]$ में इस प्रकार परिभाषित है:
$f(x) = \begin{cases} \max(4 - x^2, 1 + x^2), & -2 < x < 0 \\ \min(4 - x^2, 1 + x^2), & 0 < x < 2 \end{cases}$
तब $f(x)$:

$\frac{1}{e^{3x}}(e^x + e^{5x}) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots$
$\Rightarrow 2a_1 + 2^3a_3 + 2^5a_5 + \ldots$ का मान ज्ञात कीजिए।

$p(0)=0$,सभी $x \neq 0$ के लिए $p(x) > x^2$ और $p^{\prime \prime}(0) = \frac{1}{2}$ को संतुष्ट करने वाले बहुपदों $p: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ की संख्या क्या है?

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