मान लीजिए f अंतराल (0, infty) पर परिभाषित एक | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) = \ln x + \int_0^x \sqrt{1+\sin t} \, dt$.कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$f^{\prime}(x) = \frac{1}{x} + \sqrt{1+\sin x}$.ध्यान द

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$(B, C)$

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(A) दिया गया है $f(x) = \ln x + \int_0^x \sqrt{1+\sin t} \, dt$.कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$f^{\prime}(x) = \frac{1}{x} + \sqrt{1+\sin x}$.ध्यान दें कि $\sqrt{1+\sin x} = \sqrt{(\sin(x/2) + \cos(x/2))^2} = |\sin(x/2) + \cos(x/2)|$.यह व्यंजक वहाँ अवकलनीय नहीं है जहाँ $\sin(x/2) + \cos(x/2) = 0$,अर्थात $	an(x/2) = -1$,जिसका अर्थ है $x/2 = n\pi - \pi/4$,या $x = 2n\pi - \pi/2$.चूंकि ये बिंदु $(0, \infty)$ में मौजूद हैं,इसलिए $f^{\prime}(x)$ इन बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है। अतः,$(B)$ सत्य है और $(A)$ असत्य है।$(C)$ के लिए,जैसे $x 	o \infty$,$f(x) \approx \int_0^x \sqrt{1+\sin t} \, dt \approx \frac{2\sqrt{2}}{\pi} x$ और $f^{\prime}(x) \approx \sqrt{1+\sin x}$। चूँकि $f(x)$ रैखिक रूप से बढ़ता है और $f^{\prime}(x)$ परिबद्ध है,इसलिए बड़े $x$ के लिए $|f^{\prime}(x)| $(D)$ असत्य है क्योंकि जैसे $x 	o \infty$,$f(x) 	o \infty$ होता है।

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