मान लीजिए $\omega$ एक सम्मिश्र संख्या $\cos \frac{2 \pi}{3} + i \sin \frac{2 \pi}{3}$ है। तो $\left|\begin{array}{ccc} z+1 & \omega & \omega^2 \\ \omega & z+\omega^2 & 1 \\ \omega^2 & 1 & z+\omega \end{array}\right| = 0$ को संतुष्ट करने वाली भिन्न सम्मिश्र संख्याओं $z$ की संख्या कितनी है?

मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos t & \sin t \\ 0 & -\sin t & \cos t \end{bmatrix}$ है। मान लीजिए $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$ समीकरण $\det(A - \lambda I_{3}) = 0$ के मूल हैं, जहाँ $I_{3}$ तत्समक आव्यूह को दर्शाता है। यदि $\lambda_{1} + \lambda_{2} + \lambda_{3} = \sqrt{2} + 1$ है, तो $-\pi \leq t < \pi$ के लिए $t$ के संभावित मानों का समुच्चय क्या है?

केवल $0$ या $1$ अवयवों वाले $2 \times 2$ क्रम के सभी सारणिकों के समुच्चय से एक सारणिक यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। चुने गए सारणिक के अशून्य होने की प्रायिकता क्या है?

यदि $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$ है,तो $A^2 - 2A$ का सारणिक ज्ञात कीजिए।

यदि $a > 0$ और $ax^2 + 2bx + c$ का विविक्तकर (discriminant) ऋणात्मक है,तो $\left| \begin{array}{ccc} a & b & ax + b \\ b & c & bx + c \\ ax + b & bx + c & 0 \end{array} \right|$ है

यदि $0$ या $1$ तत्वों वाले $2$nd क्रम के सारणिक को सभी ऐसे सारणिकों के समुच्चय से चुना जाता है,तो चुने गए सारणिक के शून्य न होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।