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Question

(A) दिया गया समीकरण $6 \int_1^x f(t) dt = 3x f(x) - x^3$ है।न्यूटन-लीबनिज प्रमेय का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:$6 f(x) =

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$6$

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(A) दिया गया समीकरण $6 \int_1^x f(t) dt = 3x f(x) - x^3$ है।न्यूटन-लीबनिज प्रमेय का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:$6 f(x) = 3 f(x) + 3x f'(x) - 3x^2$.पदों को व्यवस्थित करने पर:$3x f'(x) = 3 f(x) + 3x^2 \Rightarrow x f'(x) - f(x) = x^2$.$x^2$ से भाग देने पर ($x \geq 1$ के लिए):$\frac{x f'(x) - f(x)}{x^2} = 1 \Rightarrow \frac{d}{dx} \left( \frac{f(x)}{x} \right) = 1$.दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:$\frac{f(x)}{x} = x + C$.$f(1) = 2$ दिया गया है,इसलिए $x=1$ रखने पर:$\frac{f(1)}{1} = 1 + C \Rightarrow 2 = 1 + C \Rightarrow C = 1$.अतः,$f(x) = x^2 + x$.$f(2)$ का मान:$f(2) = 2^2 + 2 = 4 + 2 = 6$.

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