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Question

(C) दिया गया है $R_1 = \int_{-1}^2 x f(x) dx$। गुणधर्म $\int_a^b g(x) dx = \int_a^b g(a+b-x) dx$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है: $R_1 = \int_{

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$2 R_1 = R_2$

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(C) दिया गया है $R_1 = \int_{-1}^2 x f(x) dx$। गुणधर्म $\int_a^b g(x) dx = \int_a^b g(a+b-x) dx$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है: $R_1 = \int_{-1}^2 ((-1) + 2 - x) f((-1) + 2 - x) dx$ $R_1 = \int_{-1}^2 (1 - x) f(1 - x) dx$। चूंकि $f(x) = f(1 - x)$,हम इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करते हैं: $R_1 = \int_{-1}^2 (1 - x) f(x) dx = \int_{-1}^2 f(x) dx - \int_{-1}^2 x f(x) dx$। $R_1 = \int_{-1}^2 f(x) dx - R_1$। $2 R_1 = \int_{-1}^2 f(x) dx$। चूंकि $R_2$,$y = f(x)$ द्वारा $x = -1$ से $x = 2$ तक घिरा हुआ क्षेत्रफल है,$R_2 = \int_{-1}^2 f(x) dx$। अतः,$2 R_1 = R_2$।

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कथन $(A)$: $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{(\sin x)^{\sqrt{2}} dx}{(\sin x)^{\sqrt{2}}+(\cos x)^{\sqrt{2}}} = \frac{\pi}{12}$
कारण $(R)$: $\int_{a}^{b} \frac{f(x) dx}{f(x)+f(a+b-x)} = \frac{b-a}{2}$

$\int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{dx}{1+\sqrt{\cot x}} = $ . . . . . . .

$f(x)$ के संभावित फलनों में से एक जो $\int_{-2}^{2} f(x) dx = 0$ को संतुष्ट करता है, वह है

यदि $\int_{0}^{1} 4 \cot^{-1}(1-x+x^{2}) dx = a \tan^{-1}(2) - b \log_{e}(5)$, जहाँ $a, b \in N$, तो $(2a+b)$ का मान ज्ञात कीजिए:

$\int_{0}^{\infty} \log \left( x + \frac{1}{x} \right) \frac{dx}{1 + x^2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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