मान लीजिए f: R rightarrow R इस प्रकार दिया गय | vedclass

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Question

(B) सबसे पहले,हम विभिन्न अंतरालों में फलन $f(x)$ का विश्लेषण करते हैं।$x < 0$ के लिए,$f(x) = (x+1)^5 - 2x$। जैसे $x \rightarrow -\infty$,$f(x) \righta

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$1, 2, 4$

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(B) सबसे पहले,हम विभिन्न अंतरालों में फलन $f(x)$ का विश्लेषण करते हैं।$x $f^{\prime}(x) = 5(x+1)^4 - 2$। $f^{\prime}(x) = 0$ रखने पर $(x+1)^4 = 2/5$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = -1 \pm (2/5)^{1/4}$। चूंकि $f^{\prime}(x)$ अंतराल $(-\infty, 0)$ में अपना चिह्न बदलता है,इसलिए $f(x)$ अंतराल $(-\infty, 0)$ पर एकदिष्ट (monotonic) नहीं है। अतः,कथन $(3)$ गलत है।$x \geq 3$ के लिए,$f(x)$ सतत है,$f(3) = 1/3$,और $\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = \infty$। परिसर $[1/3, \infty)$ है।सभी अंतरालों के परिसरों को मिलाने पर,हम पाते हैं कि $f(x)$ का परिसर $R$ है,इसलिए $f$ आच्छादक है। कथन $(2)$ सही है।अब,$x = 1$ के निकट $f^{\prime}(x)$ पर विचार करें:$0 \leq x $1 \leq x जब $x, 1$ से थोड़ा बड़ा होता है,तो $f^{\prime}(x) = 2x^2 - 8x + 7$। $f^{\prime}(x)$ का अवकलज $f^{\prime\prime}(x) = 4x - 8$ है। $x=1$ पर,$f^{\prime\prime}(1^+) = -4$।चूंकि $x=1$ पर $f^{\prime}$ का बायां अवकलज $2$ है और दायां अवकलज $-4$ है,इसलिए $f^{\prime}$,$x=1$ पर अवकलनीय नहीं है। कथन $(4)$ सही है।साथ ही,चूंकि $f^{\prime}(x)$ बढ़कर $x=1$ पर $1$ हो जाता है और $x > 1$ के लिए घटता है,इसलिए $f^{\prime}$ का $x=1$ पर स्थानीय अधिकतम है। कथन $(1)$ सही है।अतः,कथन $(1), (2),$ और $(4)$ सही हैं।

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