माना $f:[0,2] \rightarrow R$ एक फलन है जो $f(x)=(3-\sin(2\pi x)) \sin(\pi x-\frac{\pi}{4})-\sin(3\pi x+\frac{\pi}{4})$ द्वारा परिभाषित है। यदि $\alpha, \beta \in[0,2]$ इस प्रकार हैं कि $\{x \in[0,2]: f(x) \geq 0\}=[\alpha, \beta]$,तो $\beta-\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\alpha, \beta$ और $\gamma$ तीन धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं। मान लीजिए $f(x) = \alpha x^5 + \beta x^3 + \gamma x, x \in \mathbb{R}$ और $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ इस प्रकार है कि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $g(f(x)) = x$ है। यदि $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n$ समांतर श्रेणी में हैं और उनका माध्य शून्य है,तो $f(g(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f(a_i)))$ का मान क्या होगा?

यदि $f : R \rightarrow R$ को $f(x) = \begin{cases} x + 4, & x < -4 \\ 3x + 2, & -4 \leq x < 4 \\ x - 4, & x \geq 4 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित किया गया है, तो List-$I$ का List-$II$ के साथ सही मिलान क्या है?
List-$I$
$(A) f(-5) + f(-4)$
$(B) f(|f(-8)|)$
$(C) f(f(-7) + f(3))$
$(D) f(f(f(f(0)))) + 1$
List-$II$
$(i) 14$
$(ii) 4$
$(iii) -11$
$(iv) -1$
$(v) 1$
$(vi) 0$

एक फलन $f : N \rightarrow R$ पर विचार करें,जो $x \geq 2$ के लिए $f(1)+2 f(2)+3 f(3)+\ldots+x f(x)=x(x+1) f(x)$ को संतुष्ट करता है,जहाँ $f(1)=1$ है। तो $\frac{1}{f(2022)}+\frac{1}{f(2028)}$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $g(x) = 1 + x - [x]$ और $f(x) = \begin{cases} -1, & x < 0 \\ 0, & x = 0 \\ 1, & x > 0 \end{cases}$,जहाँ $[x]$,$x$ से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक को दर्शाता है। तो सभी $x$ के लिए,$f(g(x)) = $

मान लीजिए कि फलन $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$,$f(x) = \frac{4^x}{4^x+2}$ द्वारा परिभाषित है। तो $f\left(\frac{1}{40}\right) + f\left(\frac{2}{40}\right) + f\left(\frac{3}{40}\right) + \dots + f\left(\frac{39}{40}\right) - f\left(\frac{1}{2}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।