माना f(x)=(1-x)^2 sin ^2 x+x^2 सभी x in mathb | vedclass

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Question

(B) $1.$ दिया गया है $f(x)=(1-x)^2 \sin^2 x+x^2$ और $g(x)=\int_1^x \left(\frac{2(t-1)}{t+1}-\ln t\right) f(t) dt$.कलन के मूलभूत प्रमेय द्वारा,$g'(x) =

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$(B, C)$

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(B) $1.$ दिया गया है $f(x)=(1-x)^2 \sin^2 x+x^2$ और $g(x)=\int_1^x \left(\frac{2(t-1)}{t+1}-\ln t\right) f(t) dt$.कलन के मूलभूत प्रमेय द्वारा,$g'(x) = \left(\frac{2(x-1)}{x+1}-\ln x\right) f(x)$.माना $\phi(x) = \frac{2(x-1)}{x+1}-\ln x$. तब $\phi'(x) = \frac{2(x+1)-2(x-1)}{(x+1)^2} - \frac{1}{x} = \frac{4}{(x+1)^2} - \frac{1}{x} = \frac{-(x-1)^2}{x(x+1)^2}$.चूंकि $x > 1$ के लिए $\phi'(x) \leq 0$,$\phi(x)$ ह्रासमान है। $\phi(1) = 0$ होने के कारण,$x > 1$ के लिए $\phi(x)  0$ होने से $g'(x) $2.$ $P$ के लिए: $f(x)+2x = (1-x)^2 \sin^2 x + x^2 + 2x = 2(1+x^2) = 2+2x^2$.$(1-x)^2 \sin^2 x = (x-1)^2 + 1$. चूंकि $\sin^2 x \leq 1$,यह संभव नहीं है। अतः $P$ असत्य है।$Q$ के लिए: $H(x) = 2f(x) + 1 - 2x(1+x)$ लें। $H(0) = 1$ और $H(1) = -1$. फलन सतत है,इसलिए $H(x)=0$ के लिए $x$ का अस्तित्व है। अतः $Q$ सत्य है।

स्तंभ $I$	स्तंभ $II$
$(A) \int_{-1}^1 \frac{dx}{1+x^2}$	$(p) \frac{1}{2} \log \left(\frac{2}{3}\right)$
$(B) \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$	$(q) 2 \log \left(\frac{2}{3}\right)$
$(C) \int_2^3 \frac{dx}{1-x^2}$	$(r) \frac{\pi}{3}$
$(D) \int_1^2 \frac{dx}{x \sqrt{x^2-1}}$	$(s) \frac{\pi}{2}$

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