यदि f(x) एक फलन है जो f^{prime}(x)=f(x) को सं | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) दिया गया है कि $f^{\prime}(x)=f(x)$.$f(x)$ से भाग देने पर,हमें $\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=1$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकल

Vedclass · Accepted Answer

$e-\frac{e^2}{2}-\frac{3}{2}$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है कि $f^{\prime}(x)=f(x)$.$f(x)$ से भाग देने पर,हमें $\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=1$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$\ln|f(x)| = x + C$ प्राप्त होता है।चूंकि $f(0)=1$,इसलिए $\ln(1) = 0 + C$,जिसका अर्थ है कि $C=0$ है।अतः,$f(x) = e^x$.$f(x)+g(x)=x^2$ होने के कारण,$g(x) = x^2 - e^x$ है।अब,हमें समाकलन $I = \int_0^1 f(x)g(x) dx = \int_0^1 e^x(x^2 - e^x) dx$ का मान ज्ञात करना है।$I = \int_0^1 (x^2 e^x - e^{2x}) dx = \int_0^1 x^2 e^x dx - \int_0^1 e^{2x} dx$.खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करने पर,$\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - \int 2x e^x dx = x^2 e^x - 2(x e^x - e^x) = e^x(x^2 - 2x + 2)$.निश्चित समाकलन का मान: $[e^x(x^2 - 2x + 2)]_0^1 = (e(1-2+2)) - (e^0(0-0+2)) = e - 2$.दूसरे भाग का मान: $\int_0^1 e^{2x} dx = [\frac{1}{2} e^{2x}]_0^1 = \frac{1}{2}(e^2 - 1)$.अतः,$I = (e - 2) - \frac{1}{2}(e^2 - 1) = e - 2 - \frac{e^2}{2} + \frac{1}{2} = e - \frac{e^2}{2} - \frac{3}{2}$.

Similar Questions

यदि $I = \sum_{k=1}^{98} \int_k^{k+1} \frac{k+1}{x(x+1)} dx$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module