જો $f(x)$ એ $f^{\prime}(x)=f(x)$ નું પાલન કરતું વિધેય હોય અને $f(0)=1$ હોય,તથા $g(x)$ એવું વિધેય હોય કે જે $f(x)+g(x)=x^2$ નું પાલન કરે છે,તો સંકલન $\int_0^1 f(x) g(x) d x$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે વિધેય $f: R \rightarrow R$ એ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે:
$f(t)=\begin{cases} (-1)^{n+1} 2, & \text{જો } t=2n-1, n \in N \\ \frac{(2n+1-t)}{2} f(2n-1) + \frac{(t-(2n-1))}{2} f(2n+1), & \text{જો } 2n-1 < t < 2n+1, n \in N \end{cases}$
$g(x) = \int_1^x f(t) dt, x \in (1, \infty)$ વ્યાખ્યાયિત કરો. ધારો કે $\alpha$ એ અંતરાલ $(1, 8]$ માં સમીકરણ $g(x) = 0$ ના ઉકેલોની સંખ્યા દર્શાવે છે અને $\beta = \lim_{x \rightarrow 1^+} \frac{g(x)}{x-1}$ છે. તો $\alpha + \beta$ ની કિંમત શોધો.

જો $f(x)$ એ સંબંધ $f(x) = e^{x} + \int_{0}^{1} (y + xe^{x}) f(y) dy$ નું પાલન કરતું હોય, તો $e + f(0)$ ની કિંમત . . . . . . થાય.

જો $A_n = \int_{0}^{\pi /2} \frac{\sin((2n-1)x)}{\sin x} dx$ અને $B_n = \int_{0}^{\pi /2} \left( \frac{\sin(nx)}{\sin x} \right)^2 dx$ જ્યાં $n \in N$,તો:

ધારો કે $I_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x \, dx$. તો $\frac{1}{I_2 + I_4}, \frac{1}{I_3 + I_5}, \frac{1}{I_4 + I_6}, \dots$ શેમાં છે?

$\int\limits_0^2 {\frac{{dx}}{{{{(1 - x)}^2}}}} $ નું મૂલ્ય શું છે?