ધારો કે $I_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x \, dx$. તો $\frac{1}{I_2 + I_4}, \frac{1}{I_3 + I_5}, \frac{1}{I_4 + I_6}, \dots$ શેમાં છે?

સંખ્યાઓ $P, Q$ અને $R$ જેના માટે વિધેય $f(x) = P{e^{2x}} + Q{e^x} + Rx$ એ શરતો $f(0) = -1$,$f'(\log 2) = 31$ અને $\int_0^{\log 4} [f(x) - Rx] \, dx = \frac{39}{2}$ નું પાલન કરે છે,તે શોધો.

જો $n(2n+1) \int_{0}^{1}(1-x^n)^{2n} dx = 1177 \int_{0}^{1}(1-x^n)^{2n+1} dx$ હોય,તો $n \in N$ ની કિંમત $\dots\dots$ છે.

$\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin 8x \cot x \, dx} + \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {\ln \left( {\frac{{1 - \sin x}}{{1 + \sin x}}} \right)dx}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $I_n = \int_0^1 (\log x)^n dx$,જ્યાં $n$ એ અઋણ પૂર્ણાંક છે. તો,$I_{2011} + 2011 I_{2010}$ ની કિંમત શોધો.

જો $b_{n} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^{2} nx}{\sin x} dx$,$n \in N$,હોય તો