मान लीजिए vec{w}=hat{i}+hat{j}-2 hat{k},और ve | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $\vec{w} = \hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$। चूँकि $\vec{u} 	imes \vec{v} = \vec{w}$,इसलिए $\vec{u} \perp \vec{w}$ और $\vec{v} \perp \ve

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$(P) \rightarrow (2), (Q) \rightarrow (1), (R) \rightarrow (4), (S) \rightarrow (5)$

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(A) दिया गया है $\vec{w} = \hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$। चूँकि $\vec{u} 	imes \vec{v} = \vec{w}$,इसलिए $\vec{u} \perp \vec{w}$ और $\vec{v} \perp \vec{w}$।साथ ही,$\vec{v} 	imes \vec{w} = \vec{u}$,जिसका अर्थ है $\vec{u} \perp \vec{w}$ और $\vec{v} \perp \vec{w}$।समीकरणों की प्रणाली $-t\alpha + \beta + \gamma = 0$,$\alpha - t\beta + \gamma = 0$,$\alpha + \beta - t\gamma = 0$ का एक गैर-तुच्छ हल तब होता है यदि सारणिक शून्य हो:$\begin{vmatrix} -t & 1 & 1 \ 1 & -t & 1 \ 1 & 1 & -t \end{vmatrix} = 0 \Rightarrow -(t^3 - 1) - 1(-t - 1) + 1(1 + t) = 0 \Rightarrow -t^3 + 1 + t + 1 + 1 + t = 0 \Rightarrow t^3 - 2t - 3 = 0$।गुणनखंड करने पर $(t+1)(t^2 - t - 3) = 0$ प्राप्त होता है। दी गई शर्तों के लिए,$t = -1$ या $t = 2$।यदि $t = 2$,तो $\alpha = \beta = \gamma$। चूँकि $\vec{u} \cdot \vec{w} = 0$,$\alpha + \beta - 2\gamma = 0 \Rightarrow 2\alpha - 2\alpha = 0$,जो सुसंगत है।$|\vec{u}| = |\vec{w}| = \sqrt{6}$ का उपयोग करते हुए,$3\alpha^2 = 6 \Rightarrow \alpha^2 = 2$। अतः $\alpha = \pm \sqrt{2}$। $t=2$ के लिए,$t+3 = 5$।यदि $t = -1$,तो $\alpha + \beta + \gamma = 0$। साथ ही $\vec{u} \cdot \vec{w} = 0 \Rightarrow \alpha + \beta - 2\gamma = 0$।घटाने पर $3\gamma = 0 \Rightarrow \gamma = 0$ प्राप्त होता है। तब $\beta = -\alpha$।$\alpha = \sqrt{3}$ के लिए,$\gamma^2 = 0$ और $(\beta + \gamma)^2 = (-\sqrt{3} + 0)^2 = 3$।इस प्रकार,$(P) ightarrow (2), (Q) ightarrow (1), (R) ightarrow (4), (S) ightarrow (5)$।

List-$I$	List-$II$
$(P)$ $\|\vec{v}\|^2$ बराबर है	$(1)$ $0$
$(Q)$ यदि $\alpha=\sqrt{3}$,तो $\gamma^2$ बराबर है	$(2)$ $1$
$(R)$ यदि $\alpha=\sqrt{3}$,तो $(\beta+\gamma)^2$ बराबर है	$(3)$ $2$
$(S)$ यदि $\alpha=\sqrt{2}$,तो $t+3$ बराबर है	$(4)$ $3$
	$(5)$ $5$

Column-$I$	Column-$II$
$(A)$ $R^2$ में,यदि सदिश $\alpha \hat{i}+\beta \hat{j}$ का $\sqrt{3} \hat{i}+\hat{j}$ पर प्रक्षेप सदिश का परिमाण $\sqrt{3}$ है और यदि $\alpha=2+\sqrt{3} \beta$ है,तो $\|\alpha\|$ का संभावित मान (मानों) है	$(P)$ $1$
$(B)$ मान लीजिए $a$ और $b$ वास्तविक संख्याएँ हैं ताकि फलन $f(x)=\begin{cases} -3ax^2-2, & x < 1 \\ bx+a^2, & x \geq 1 \end{cases}$ सभी $x \in R$ के लिए अवकलनीय है। तो $a$ का संभावित मान (मानों) है	$(Q)$ $2$
$(C)$ मान लीजिए $\omega \neq 1$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है। यदि $(3-3\omega+2\omega^2)^{4n+3} + (2+3\omega-3\omega^2)^{4n+3} + (-3+2\omega+3\omega^2)^{4n+3}=0$ है,तो $n$ का संभावित मान (मानों) है	$(R)$ $3$
$(D)$ मान लीजिए दो धनात्मक वास्तविक संख्याओं $a$ और $b$ का हरात्मक माध्य $4$ है। यदि $q$ एक धनात्मक वास्तविक संख्या है ताकि $a, 5, q, b$ समांतर श्रेणी में हैं,तो $\|q-a\|$ का मान (मानों) है	$(S)$ $4$
	$(T)$ $5$

स्तंभ $I$	स्तंभ $II$
$(A)$ यदि $\vec{a}=\hat{j}+\sqrt{3} \hat{k}, \vec{b}=-\hat{j}+\sqrt{3} \hat{k}$ और $\vec{c}=2 \sqrt{3} \hat{k}$ एक त्रिभुज बनाते हैं,तो $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच त्रिभुज का आंतरिक कोण है	$(p)$ $\frac{\pi}{6}$
$(B)$ यदि $\int_a^b(f(x)-3 x) d x=a^2-b^2$ है,तो $f\left(\frac{\pi}{6}\right)$ का मान है	$(q)$ $\frac{2 \pi}{3}$
$(C)$ $\frac{\pi^2}{\ln 3} \int_{1 / 6}^{5 / 6} \sec (\pi x) d x$ का मान है	$(r)$ $\frac{\pi}{3}$
$(D)$ $\|z\|=1, z \neq 1$ के लिए $\|\operatorname{Arg}(\frac{1}{1-z})\|$ का अधिकतम मान है	$(s)$ $\pi$
	$(t)$ $\frac{\pi}{2}$

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