मान लीजिए f(x) = frac{1-tan x}{4x-pi},जहाँ x | vedclass

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Question

(A) चूंकि $f(x)$ बिंदु $x = \frac{\pi}{4}$ पर सतत है,इसलिए $f(\frac{\pi}{4}) = \lim_{x 	o \frac{\pi}{4}} f(x)$ होगा।माना $x = \frac{\pi}{4} + t$. जैस

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$-\frac{1}{2}$

Vedclass · Answer

(A) चूंकि $f(x)$ बिंदु $x = \frac{\pi}{4}$ पर सतत है,इसलिए $f(\frac{\pi}{4}) = \lim_{x 	o \frac{\pi}{4}} f(x)$ होगा।माना $x = \frac{\pi}{4} + t$. जैसे ही $x 	o \frac{\pi}{4}$,$t 	o 0$ होगा।अतः $f(x) = \frac{1 - 	an(\frac{\pi}{4} + t)}{4(\frac{\pi}{4} + t) - \pi} = \frac{1 - \frac{1 + 	an t}{1 - 	an t}}{4t}$ होगा।अंश को सरल करने पर: $1 - \frac{1 + 	an t}{1 - 	an t} = \frac{1 - 	an t - 1 - 	an t}{1 - 	an t} = \frac{-2 	an t}{1 - 	an t}$ प्राप्त होता है।इस प्रकार,$f(x) = \frac{-2 	an t}{4t(1 - 	an t)} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{	an t}{t} \cdot \frac{1}{1 - 	an t}$ होगा।$t 	o 0$ पर सीमा लेने पर: $\lim_{t 	o 0} f(x) = -\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{1}{1 - 0} = -\frac{1}{2}$ होगा।अतः,$f(\frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{2}$।

मान लीजिए $f(x) = \frac{1-\tan x}{4x-\pi}$,जहाँ $x \neq \frac{\pi}{4}$ और $x \in [0, \frac{1}{2}]$ है। यदि $f(x)$ अंतराल $[0, \frac{\pi}{2}]$ में सतत है,तो $f(\frac{\pi}{4})$ का मान ज्ञात कीजिए।

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