मान लीजिए f(x) = int frac{sqrt{x}}{(1+x)^2} , | vedclass

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Question

(C) हमें $f(x) = \int \frac{\sqrt{x}}{(1+x)^2} \, dx$ दिया गया है। हमें $f(3) - f(1) = \int_1^3 \frac{\sqrt{x}}{(1+x)^2} \, dx$ का मान ज्ञात करना है।

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi}{12} - \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}$

Vedclass · Answer

(C) हमें $f(x) = \int \frac{\sqrt{x}}{(1+x)^2} \, dx$ दिया गया है। हमें $f(3) - f(1) = \int_1^3 \frac{\sqrt{x}}{(1+x)^2} \, dx$ का मान ज्ञात करना है। मान लीजिए $\sqrt{x} = 	an 	heta$,तो $x = 	an^2 	heta$ और $dx = 2 	an 	heta \sec^2 	heta \, d	heta$ होगा। जब $x = 1$,$	an 	heta = 1 \Rightarrow 	heta = \frac{\pi}{4}$। जब $x = 3$,$	an 	heta = \sqrt{3} \Rightarrow 	heta = \frac{\pi}{3}$। इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{	an 	heta \cdot 2 	an 	heta \sec^2 	heta}{(1 + 	an^2 	heta)^2} \, d	heta = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{2 	an^2 	heta \sec^2 	heta}{\sec^4 	heta} \, d	heta = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} 2 \sin^2 	heta \, d	heta$। सर्वसमिका $2 \sin^2 	heta = 1 - \cos 2	heta$ का उपयोग करने पर: $I = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} (1 - \cos 2	heta) \, d	heta = [	heta - \frac{\sin 2	heta}{2}]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}$। $I = (\frac{\pi}{3} - \frac{\sin(2\pi/3)}{2}) - (\frac{\pi}{4} - \frac{\sin(\pi/2)}{2}) = (\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}) - (\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2})$। $I = \frac{\pi}{12} - \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}$।

मान लीजिए $f(x) = \int \frac{\sqrt{x}}{(1+x)^2} \, dx, x \geq 0$ है। तो $f(3) - f(1)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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