मान लीजिए I = int tan^{-1} left( frac{2x}{1-x | vedclass

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Question

(B) हम जानते हैं कि $|x| < 1$ के लिए $	an^{-1} \left( \frac{2x}{1-x^2} ight) = 2 	an^{-1} x$ होता है। इस मान को समाकलन में रखने पर,हमें $I = \int

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$-\log(1+x^2) + c$

Vedclass · Answer

(B) हम जानते हैं कि $|x| इस मान को समाकलन में रखने पर,हमें $I = \int 2 	an^{-1} x \, dx$ प्राप्त होता है। खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,मान लीजिए $u = 	an^{-1} x$ और $dv = 2 \, dx$ है। तब $du = \frac{1}{1+x^2} \, dx$ और $v = 2x$ होगा। सूत्र $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ का उपयोग करने पर: $I = 2x 	an^{-1} x - \int \frac{2x}{1+x^2} \, dx$. मान लीजिए $t = 1+x^2$,तो $dt = 2x \, dx$ होगा। अतः,$\int \frac{2x}{1+x^2} \, dx = \int \frac{1}{t} \, dt = \log|t| + c = \log(1+x^2) + c$. इस प्रकार,$I = 2x 	an^{-1} x - \log(1+x^2) + c$. पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $I - 2x 	an^{-1} x = -\log(1+x^2) + c$ प्राप्त होता है।

मान लीजिए $I = \int \tan^{-1} \left( \frac{2x}{1-x^2} \right) dx$,तो $I - 2x \tan^{-1} x = $

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