ધારો કે $\bar{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\bar{b}$ અને $\bar{c}=\hat{j}-\hat{k}$ ત્રણ સદિશો છે જેથી $\bar{a} \times \bar{b}=\bar{c}$ અને $\bar{a} \cdot \bar{c}=0$ થાય. જો સદિશ $\bar{b}$ નો સદિશ $\bar{a} \times \bar{c}$ પરના પ્રક્ષેપ સદિશની લંબાઈ $l$ હોય,તો $3l^2$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $\vec{a}$ એક એકમ સદિશ છે અને $\vec{b}$ એ $\vec{a}$ ને સમાંતર ન હોય તેવો શૂન્યેતર સદિશ છે. જેની બે બાજુઓ $\sqrt{3}(\vec{a} \times \vec{b})$ અને $\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{a}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે તેવા ત્રિકોણના ખૂણાઓ શોધો.

ધારો કે $a, b, c$ ત્રણ સદિશો છે. તો $a \times (b \times c) = (a \times b) \times c$ જો:

ધારો કે $\vec{p}, \vec{q}$ અને $\vec{r}$ એ ત્રણ અસમતલીય એકમ સદિશો છે જે એકબીજા સાથે લઘુકોણ $\theta$ પર સમાન રીતે નમેલા છે. $|\vec{p} \times (\vec{q} \times \vec{r})|$ નું મૂલ્ય શોધો.

ધારો કે $\vec{x}, \vec{y}$ અને $\vec{z}$ એ ત્રણ સદિશો છે,દરેકનું માન $\sqrt{2}$ છે અને તેમની દરેક જોડી વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{3}$ છે. જો $\vec{a}$ એ $\vec{x}$ અને $\vec{y} \times \vec{z}$ ને લંબ શૂન્યેતર સદિશ હોય અને $\vec{b}$ એ $\vec{y}$ અને $\vec{z} \times \vec{x}$ ને લંબ શૂન્યેતર સદિશ હોય,તો
$(A)$ $\vec{b}=(\vec{b} \cdot \vec{z})(\vec{z}-\vec{x})$
$(B)$ $\vec{a}=(\vec{a} \cdot \vec{y})(\vec{y}-\vec{z})$
$(C)$ $\vec{a} \cdot \vec{b}=-(\vec{a} \cdot \vec{y})(\vec{b} \cdot \vec{z})$
$(D)$ $\vec{a}=(\vec{a} \cdot \vec{y})(\vec{z}-\vec{y})$

ધારો કે $\vec{a}$ એક શૂન્યતર સદિશ છે. જો $\vec{x}=\hat{i} \times(\vec{a} \times \hat{i})$, $\vec{y}=\hat{j} \times(\vec{a} \times \hat{j})-\vec{a}$ અને $\vec{z}=\hat{k} \times(\vec{a} \times \hat{k})-\vec{a}$ હોય, તો $\left[\begin{array}{lll}\vec{x} & \vec{y} & \vec{z}\end{array}\right]=$