मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 4 & 6 & -1 \\ 3 & 0 & 2 \\ 1 & -2 & 5 \end{bmatrix}$,$B = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 0 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$,और $C = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 2 \end{bmatrix}$ है। वह व्यंजक जो परिभाषित नहीं है,वह है:

नीचे दिए गए आव्यूहों के लिए सही विकल्प चुनें:
$\begin{aligned} & A=\left[\begin{array}{ccc}\cos \frac{\pi}{4} & \sin \frac{\pi}{4} & 0 \\ -\sin \frac{\pi}{4} & \cos \frac{\pi}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] \\ & B=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \frac{\pi}{3} & \sin \frac{\pi}{3} \\ 0 & -\sin \frac{\pi}{3} & \cos \frac{\pi}{3}\end{array}\right] \\ & C=\left[\begin{array}{ccc}\cos \frac{\pi}{6} & 0 & \sin \frac{\pi}{6} \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin \frac{\pi}{6} & \cos \frac{\pi}{6} & 0\end{array}\right] \\ & D=\left[\begin{array}{ccc}\cos \frac{\pi}{2} & \sin \frac{\pi}{2} & 0 \\ -\sin \frac{\pi}{2} & \cos \frac{\pi}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]\end{aligned}$

$3 \times 2$ आव्यूह की रचना कीजिए जिसके अवयव $a_{ij} = \frac{1}{2}|i - 3j|$ द्वारा दिए गए हैं।

यदि $A = \begin{bmatrix} ab & b^2 \\ -a^2 & -ab \end{bmatrix}$ और $A^n = O$ है,तो $n$ का न्यूनतम मान क्या है?

आव्यूह $X$ और $Y$ के लिए,यदि $X+Y = \begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}$ और $X-Y = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$ है,तो $2X =$ . . . . . .

दो किसान,रामकिशन और गुरचरण सिंह,केवल तीन प्रकार के चावल उगाते हैं: बासमती,परमल और नौरा। सितंबर और अक्टूबर के महीनों में दोनों किसानों द्वारा इन चावलों की बिक्री (रुपयों में) निम्नलिखित आव्यूहों $A$ और $B$ द्वारा दी गई है।
सितंबर की बिक्री (रुपयों में)
$A = \begin{bmatrix} \text{बासमती} & \text{परमल} & \text{नौरा} \\ 10,000 & 20,000 & 30,000 \\ 50,000 & 30,000 & 10,000 \end{bmatrix} \begin{matrix} \\ \text{रामकिशन} \\ \text{गुरचरण सिंह} \end{matrix}$
अक्टूबर की बिक्री (रुपयों में)
$B = \begin{bmatrix} \text{बासमती} & \text{परमल} & \text{नौरा} \\ 5,000 & 10,000 & 6,000 \\ 20,000 & 10,000 & 10,000 \end{bmatrix} \begin{matrix} \\ \text{रामकिशन} \\ \text{गुरचरण सिंह} \end{matrix}$
$(i)$ प्रत्येक किसान के लिए प्रत्येक प्रकार के चावल की सितंबर और अक्टूबर की कुल बिक्री ज्ञात कीजिए।
$(ii)$ सितंबर से अक्टूबर तक बिक्री में हुई कमी ज्ञात कीजिए।
$(iii)$ यदि दोनों किसानों को कुल बिक्री पर $2\%$ लाभ मिलता है,तो अक्टूबर में प्रत्येक किसान और प्रत्येक प्रकार के चावल के लिए लाभ की गणना कीजिए।