मान लीजिए $a, b, c$ वास्तविक संख्याएँ हैं जैसे कि $2a + 3b + 6c = 0$ और $g(x) = ax^2 + bx + c = 0$ का अंतराल $(1, 2)$ में कम से कम एक मूल है। यदि एक फलन $f: [1, 2] \rightarrow \mathbb{R}$ जिसके लिए रोले का प्रमेय लागू होता है,इस प्रकार है कि $f(x)$,$g(x)$ का एक आदिम (primitive) है,तो $f(x) = $

दिया गया है कि $f(x)$ अंतराल $a \le x \le b$ पर सतत अवकलनीय है जहाँ $a < b, f(a) < 0$ और $f(b) > 0$,तो निम्नलिखित में से कौन सा हमेशा सत्य है?
$(i)$ $f(x)$ अंतराल $a \le x \le b$ पर परिबद्ध (bounded) है।
$(ii)$ समीकरण $f(x) = 0$ का $a < x < b$ में कम से कम एक हल है।
$(iii)$ $f(x)$ का अधिकतम और न्यूनतम मान उन बिंदुओं पर होता है जहाँ $f'(c) = 0$ है।
$(iv)$ $a < c < b$ में कम से कम एक बिंदु $c$ ऐसा है जहाँ $f'(c) > 0$ है।
$(v)$ $a < d < b$ में कम से कम एक बिंदु $d$ ऐसा है जहाँ $f'(d) < 0$ है।

मान लीजिए $f(x)=x^3+2x^2-x$ एक वास्तविक मान वाला फलन है। तो, $(-1,2)$ में लैग्रेंज के स्थिरांक $C$ का मान है

यदि $f(x) = x^{\alpha} \log x, x > 0, f(0) = 0$ और $f(x)$ अंतराल $[0, 1]$ पर रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है,तो $\alpha$ का मान क्या है?

निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
कथन $I$: यदि $a_0+\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{3}+\ldots+\frac{a_n}{n+1}=0$, जहाँ $a_0, a_1, \ldots, a_n$ वास्तविक संख्याएँ हैं, तो बहुपद $P(x) = a_0+a_1 x+a_2 x^2+\ldots+a_n x^n$ का अंतराल $(0,1)$ में एक शून्य है।
कथन $II$: यदि $f:[a, b] \rightarrow R$, $[a, b]$ पर सतत है और $f$, $(a, b)$ में अवकलनीय है, जहाँ $a>0$ और यदि $\frac{f(a)}{a}=\frac{f(b)}{b}$ है, तो एक ऐसा $c \in(a, b)$ मौजूद है कि $c f^{\prime}(c)=f(c)$ हो।
निम्नलिखित में से कौन सा विकल्प सही है?

यदि फलन $f(x) = \log x$ के लिए अंतराल $[1, e]$ पर $LMVT$ लागू किया जा सकता है,तो $c$ का मान ज्ञात कीजिए।