माना $A_1$ दिए गए दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ का क्षेत्रफल है। माना $A_2$ उस क्षेत्र का क्षेत्रफल है जो दीर्घवृत्त की नाभि और दीर्घवृत्त पर स्थित बिंदु $P$ को मिलाने वाले रेखाखंड के मध्यबिंदु के बिंदुपथ द्वारा घिरा है,तो $A_1 : A_2$ का मान है:

दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ पर विचार करें। मान लीजिए $H(\alpha, 0)$,$0 < \alpha < 2$,एक बिंदु है। $H$ से होकर जाने वाली और $y$-अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा दीर्घवृत्त और उसके सहायक वृत्त को प्रथम चतुर्थांश में क्रमशः $E$ और $F$ बिंदुओं पर काटती है। बिंदु $E$ पर दीर्घवृत्त की स्पर्शरेखा धनात्मक $x$-अक्ष को बिंदु $G$ पर काटती है। मान लीजिए कि $F$ और मूलबिंदु को जोड़ने वाली सीधी रेखा धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $\phi$ कोण बनाती है।

$List-I$	$List-II$
$(I)$ यदि $\phi=\frac{\pi}{4}$ है,तो त्रिभुज $FGH$ का क्षेत्रफल है	$(P) \frac{(\sqrt{3}-1)^4}{8}$
$(II)$ यदि $\phi=\frac{\pi}{3}$ है,तो त्रिभुज $FGH$ का क्षेत्रफल है	$(Q) 1$
$(III)$ यदि $\phi=\frac{\pi}{6}$ है,तो त्रिभुज $FGH$ का क्षेत्रफल है	$(R) \frac{3}{4}$
$(IV)$ यदि $\phi=\frac{\pi}{12}$ है,तो त्रिभुज $FGH$ का क्षेत्रफल है	$(S) \frac{1}{2\sqrt{3}}$
	$(T) \frac{3\sqrt{3}}{2}$

सही विकल्प है:

दीर्घवृत्त $4x^2 + 9y^2 = 36$ पर एक बिंदु,जहाँ अभिलंब रेखा $4x - 2y - 5 = 0$ के समांतर है,है

मान लीजिए $E$ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ है। $E$ पर किन्हीं तीन भिन्न बिंदुओं $P, Q$ और $Q^{\prime}$ के लिए,मान लीजिए $M(P, Q)$ रेखाखंड $PQ$ का मध्य-बिंदु है,और $M(P, Q^{\prime})$ रेखाखंड $PQ^{\prime}$ का मध्य-बिंदु है। तो $M(P, Q)$ और $M(P, Q^{\prime})$ के बीच की दूरी का अधिकतम संभव मान,जैसे-जैसे $P, Q$ और $Q^{\prime}$ $E$ पर बदलते हैं,क्या होगा?

एक दीर्घवृत्त जिसके अक्ष निर्देशांक अक्ष हैं और जिसका मुख्य अक्ष $Y$-अक्ष के अनुदिश है,बिंदु $(-3, 1)$ से होकर गुजरता है और इसकी उत्केंद्रता $e = \sqrt{\frac{2}{5}}$ है। तो इसका समीकरण क्या है?

दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{4}=1$ पर,मान लीजिए $P$ दूसरे चतुर्थांश में एक ऐसा बिंदु है कि $P$ पर दीर्घवृत्त की स्पर्शरेखा रेखा $x+2y=0$ के लंबवत है। मान लीजिए $S$ और $S'$ दीर्घवृत्त की नाभियाँ हैं और $e$ इसकी उत्केंद्रता है। यदि $A$ त्रिभुज $SPS'$ का क्षेत्रफल है,तो $(5-e^{2}) \cdot A$ का मान ज्ञात कीजिए।