मान लीजिए [P] सबसे बड़े पूर्णांक leq P को दर् | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $0 \leq a \leq 2$। $a$ के पूर्णांक मान $0, 1, 2$ हैं।मान लीजिए $f(x) = [x^2] - [x]^2$ है।$a = 0$ के लिए:$	ext{L.H.L.} = \lim_{h igh

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$2$

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(B) दिया गया है $0 \leq a \leq 2$। $a$ के पूर्णांक मान $0, 1, 2$ हैं।मान लीजिए $f(x) = [x^2] - [x]^2$ है।$a = 0$ के लिए:$	ext{L.H.L.} = \lim_{h ightarrow 0} ([(0-h)^2] - [0-h]^2) = [h^2] - [-h]^2 = 0 - (-1)^2 = -1$.$	ext{R.H.L.} = \lim_{h ightarrow 0} ([(0+h)^2] - [0+h]^2) = [h^2] - [h]^2 = 0 - 0 = 0$.चूंकि $	ext{L.H.L.} 
eq 	ext{R.H.L.}$,इसलिए $a = 0$ पर सीमा का अस्तित्व नहीं है।$a = 1$ के लिए:$	ext{L.H.L.} = \lim_{h ightarrow 0} ([(1-h)^2] - [1-h]^2) = [1-2h+h^2] - [1-h]^2 = 0 - 0^2 = 0$.$	ext{R.H.L.} = \lim_{h ightarrow 0} ([(1+h)^2] - [1+h]^2) = [1+2h+h^2] - [1+h]^2 = 1 - 1^2 = 0$.चूंकि $	ext{L.H.L.} = 	ext{R.H.L.}$,इसलिए $a = 1$ पर सीमा का अस्तित्व है।$a = 2$ के लिए:$	ext{L.H.L.} = \lim_{h ightarrow 0} ([(2-h)^2] - [2-h]^2) = [4-4h+h^2] - [2-h]^2 = 3 - 1^2 = 2$.$	ext{R.H.L.} = \lim_{h ightarrow 0} ([(2+h)^2] - [2+h]^2) = [4+4h+h^2] - [2+h]^2 = 4 - 2^2 = 0$.चूंकि $	ext{L.H.L.} 
eq 	ext{R.H.L.}$,इसलिए $a = 2$ पर सीमा का अस्तित्व नहीं है।अतः,$a$ के $2$ मानों के लिए सीमा का अस्तित्व नहीं है।

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$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \sqrt {\frac{{x + \sin x}}{{x - \cos x}}} = $

$a > 1$ के लिए $\mathop {\text{Limit}}\limits_{x \to \infty } \frac{{\cot ^{ - 1}}\left( {{x^{ - a}}\log _a x} \right)}{{\sec ^{ - 1}}\left( {{a^x}\log _x a} \right)}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\lim _{x}$ ${\rightarrow \infty} \frac{(2 x+1)^{50}+(2 x+2)^{50}+(2 x+3)^{50}+\cdots \cdots+(2 x+100)^{50}}{(2 x)^{50}+(10)^{50}} = \dots$

$\lim_{x \rightarrow -2^{+}} ([x]^2 - [x] - 2) + \lim_{x \rightarrow -3^{-}} ([x]^2 - 4[x] + 3) =$

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