मान लीजिए कि $A$ और $B$ दो स्वतंत्र घटनाएँ हैं जैसे कि $P(B) > P(A)$। यदि $A$ और $B$ दोनों के होने की प्रायिकता $\frac{1}{12}$ है और न तो $A$ और न ही $B$ के होने की प्रायिकता $\frac{1}{2}$ है,तो:

समुच्चय ${1, 2, 3, \dots, 8}$ से यादृच्छिक रूप से तीन संख्याएँ चुनी जाती हैं। यदि यह दिया गया है कि चुनी गई संख्याओं का न्यूनतम $3$ और अधिकतम $6$ है, तो तीसरी संख्या के $4$ या $5$ होने की प्रायिकता क्या है?

यदि दो निष्पक्ष छह-पक्षीय पासों को एक साथ तब तक फेंका जाता है जब तक कि योग $7$ या $11$ न आ जाए,तो $11$ से पहले $7$ आने की प्रायिकता क्या है?

यदि $A$ और $B$ एक यादृच्छिक प्रयोग की स्वतंत्र घटनाएँ हैं, जैसे कि $P(A \cap B)=\frac{1}{6}$ और $P(\bar{A} \cap \bar{B})=\frac{1}{3}$, तो $P(A)$ का मान ज्ञात कीजिए। (यहाँ, $\bar{E}$ घटना $E$ की पूरक घटना है)

यदि $E$ और $F$ ऐसी घटनाएँ हैं जहाँ $P(E) \le P(F)$ और $P(E \cap F) > 0$ है,तो

आकृति में $6 \times 6$ वर्ग ग्रिड पर विचार करें। मान लीजिए $A_1, A_2, \ldots, A_{49}$ प्रतिच्छेदन बिंदु (चित्र में बिंदु) हैं। हम कहते हैं कि $A_i$ और $A_j$ मित्र हैं यदि वे एक पंक्ति या एक स्तंभ के साथ आसन्न हैं। मान लीजिए कि प्रत्येक बिंदु $A_i$ के चुने जाने की समान संभावना है।
$(1)$ मान लीजिए $p_i$ वह प्रायिकता है कि यादृच्छिक रूप से चुने गए बिंदु के $i$ मित्र हैं,$i=0, 1, 2, 3, 4$। मान लीजिए $X$ एक यादृच्छिक चर है जैसे कि $i=0, 1, 2, 3, 4$ के लिए,प्रायिकता $P(X=i)=p_i$ है। तो $7 E(X)$ का मान क्या है?
$(2)$ बिंदुओं $A_1, A_2, \ldots, A_{49}$ में से दो अलग-अलग बिंदु यादृच्छिक रूप से चुने जाते हैं। मान लीजिए $p$ वह प्रायिकता है कि वे मित्र हैं। तो $7 p$ का मान क्या है?