माना $\vec{c}$ इकाई सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के साथ समतलीय एक सदिश है और $\vec{d}$, $\vec{a}$, $\vec{b}$ और $\vec{c}$ के लंबवत इकाई सदिश है। यदि $[\vec{a} \vec{b} \vec{d}] \vec{c} - [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] \vec{d} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{a}$ तथा $\vec{b}$ के बीच का कोण $30^{\circ}$ है, तो $|\vec{c}| =$

$a$ का वह मान जिसके लिए $\hat{i} + a \hat{j} + \hat{k}$,$\hat{j} + a \hat{k}$ और $a \hat{i} + \hat{k}$ द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन न्यूनतम हो,है

$[\vec{a}-\vec{b} \quad \vec{b}-\vec{c} \quad \vec{c}-\vec{a}]$ का मान किसके बराबर है?

यदि $\vec{a}=2 \hat{i}+\hat{j}+3 \hat{k}$,$\vec{b}=\hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}$ और $\vec{c}=3 \hat{i}-\hat{j}-2 \hat{k}$ है,तो $\left|\begin{array}{lll}\vec{a} \cdot \vec{a} & \vec{a} \cdot \vec{b} & \vec{a} \cdot \vec{c} \\ \vec{b} \cdot \vec{a} & \vec{b} \cdot \vec{b} & \vec{b} \cdot \vec{c} \\ \vec{c} \cdot \vec{a} & \vec{c} \cdot \vec{b} & \vec{c} \cdot \vec{c}\end{array}\right|$ का मान ज्ञात कीजिए।

माना $\overrightarrow{a}=\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$ और $\overrightarrow{b}=3(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})$ है। माना $\overrightarrow{c}$ एक ऐसा सदिश है कि $\vec{a} \times \vec{c}=\vec{b}$ और $\vec{a} \cdot \vec{c}=3$ है। तब $\overrightarrow{a} \cdot ((\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{b})-\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})$ का मान ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए $\vec{p} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + a\hat{k}$,$\vec{q} = b\hat{i} + 5\hat{j} - \hat{k}$,और $\vec{r} = \hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$ है। यदि $\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}$ समतलीय हैं और $\vec{p} \cdot \vec{q} = 20$ है,तो क्रमित युग्म $(a, b)$ क्या है?