मान लीजिए pi_1 वह समतल है जो बिंदुओं (0,1,2), | vedclass

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Question

(A) समतल $\pi_1$ का समीकरण जो $(0,1,2), (1,0,-2), (-2,1,0)$ से होकर गुजरता है, सारणिक द्वारा दिया गया है:$\begin{vmatrix} x-0 & y-1 & z-2 \ 1-0 & 0-1

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$\frac{\sqrt{14}}{9}$

Vedclass · Answer

(A) समतल $\pi_1$ का समीकरण जो $(0,1,2), (1,0,-2), (-2,1,0)$ से होकर गुजरता है, सारणिक द्वारा दिया गया है:$\begin{vmatrix} x-0 & y-1 & z-2 \ 1-0 & 0-1 & -2-2 \ -2-0 & 1-1 & 0-2 \end{vmatrix} = 0$$\Rightarrow \begin{vmatrix} x & y-1 & z-2 \ 1 & -1 & -4 \ -2 & 0 & -2 \end{vmatrix} = 0$पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:$x(2-0) - (y-1)(-2-8) + (z-2)(0-2) = 0$$2x + 10(y-1) - 2(z-2) = 0$$2x + 10y - 10 - 2z + 4 = 0$$2x + 10y - 2z - 6 = 0 \Rightarrow x + 5y - z = 3$. अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = (1, 5, -1)$ है।समतल $\pi_2$ बिंदु $(1,2,3)$ से गुजरता है और $x+y+z=1$ तथा $2x-3y+z=5$ के लंबवत है। अभिलंब सदिश $\vec{n_2}$ इन दोनों समतलों के अभिलंबों $(1,1,1)$ और $(2,-3,1)$ का सदिश गुणनफल है:$\vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 1 & 1 & 1 \ 2 & -3 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1+3) - \hat{j}(1-2) + \hat{k}(-3-2) = 4\hat{i} + \hat{j} - 5\hat{k}$.$\pi_2$ का समीकरण $4(x-1) + 1(y-2) - 5(z-3) = 0 \Rightarrow 4x + y - 5z + 9 = 0$ है।$\pi_1$ और $\pi_2$ के बीच का न्यून कोण $	heta$ इस प्रकार है:$\cos 	heta = \left| \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} ight| = \left| \frac{(1)(4) + (5)(1) + (-1)(-5)}{\sqrt{1^2+5^2+(-1)^2} \sqrt{4^2+1^2+(-5)^2}} ight|$$= \left| \frac{4+5+5}{\sqrt{27} \sqrt{42}} ight| = \frac{14}{\sqrt{9 	imes 3} \sqrt{6 	imes 7}} = \frac{14}{3\sqrt{3} \sqrt{6} \sqrt{7}} = \frac{14}{3 \sqrt{18 	imes 7}} = \frac{14}{3 \sqrt{126}} = \frac{14}{3 	imes 3 \sqrt{14}} = \frac{\sqrt{14}}{9}$.

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