मान लीजिए A एक बिंदु है जिसका स्थिति सदिश bar | vedclass

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Question

(A) रेखा पर किसी भी बिंदु $P$ का स्थिति सदिश $\vec{p} = (1)\bar{i} + (t-3)\bar{j} + (-2t)\bar{k}$ है।मान लीजिए समतल $\pi: \vec{r} \cdot (2\bar{i} + 3\

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$\bar{r} \cdot(-\bar{j}+2 \bar{k})=8$

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(A) रेखा पर किसी भी बिंदु $P$ का स्थिति सदिश $\vec{p} = (1)\bar{i} + (t-3)\bar{j} + (-2t)\bar{k}$ है।मान लीजिए समतल $\pi: \vec{r} \cdot (2\bar{i} + 3\bar{j} + 5\bar{k}) = 0$ है। बिंदु $P$ की समतल से दूरी $d = \frac{|(1)(2) + (t-3)(3) + (-2t)(5)|}{\sqrt{2^2 + 3^2 + 5^2}} = \frac{|2 + 3t - 9 - 10t|}{\sqrt{38}} = \frac{|-7t - 7|}{\sqrt{38}}$ है।न्यूनतम दूरी के लिए, अंश को शून्य के बराबर रखने पर: $-7t - 7 = 0 \implies t = -1$.$t = -1$ को रेखा के समीकरण में रखने पर, हमें $P$ का स्थिति सदिश प्राप्त होता है: $\vec{p} = \bar{i} - 4\bar{j} + 2\bar{k}$.सदिश $\vec{AP} = \vec{p} - \vec{a} = (\bar{i} - 4\bar{j} + 2\bar{k}) - (\bar{i} - 3\bar{j}) = -\bar{j} + 2\bar{k}$.$P(\bar{i} - 4\bar{j} + 2\bar{k})$ से गुजरने वाले और $\vec{AP} = -\bar{j} + 2\bar{k}$ के लंबवत समतल का समीकरण $\vec{r} \cdot (-\bar{j} + 2\bar{k}) = \vec{p} \cdot (-\bar{j} + 2\bar{k})$ है।डॉट प्रोडक्ट की गणना करने पर: $(\bar{i} - 4\bar{j} + 2\bar{k}) \cdot (-\bar{j} + 2\bar{k}) = (-4)(-1) + (2)(2) = 4 + 4 = 8$.अतः, समीकरण $\bar{r} \cdot (-\bar{j} + 2\bar{k}) = 8$ है।

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यदि समतल $x-y+z+4=0$ बिंदुओं $P(2,3,-1)$ और $Q(1,4,-2)$ को जोड़ने वाली रेखा को $l:m$ के अनुपात में विभाजित करता है,तो $l+m$ का मान क्या है?

रेखा $\vec{r} = (\hat{i} + \hat{j}) + \lambda(\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k})$ और $\vec{r} = (\hat{i} + \hat{j}) + \mu(-\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k})$ को समाहित करने वाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

यदि रेखा $\frac{x - 4}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - k}{2}$ समतल $2x - 4y + z = 7$ पर स्थित है,तो $k = . . . . $

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