रेखा vec{r} = (hat{i} + hat{j}) + lambda(hat{ | vedclass

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Question

(B) दी गई रेखाएँ $\vec{r} = (\hat{i} + \hat{j}) + \lambda(\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k})$ और $\vec{r} = (\hat{i} + \hat{j}) + \mu(-\hat{i} + \hat{j} -

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$\vec{r} \cdot (\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) = 0$

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(B) दी गई रेखाएँ $\vec{r} = (\hat{i} + \hat{j}) + \lambda(\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k})$ और $\vec{r} = (\hat{i} + \hat{j}) + \mu(-\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k})$ हैं।ये रेखाएँ बिंदु $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j}$ से गुजरती हैं और सदिशों $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{c} = -\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ के समांतर हैं।समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{b} 	imes \vec{c}$ द्वारा प्राप्त होता है।$\vec{n} = (\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) 	imes (-\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 1 & 2 & -1 \ -1 & 1 & -2 \end{vmatrix} = -3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}$.हम अभिलंब सदिश के रूप में $\vec{n}' = \hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$ ले सकते हैं ($-3$ से विभाजित करने पर)।समतल का समीकरण $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n}' = 0$ है,जिसका अर्थ है $\vec{r} \cdot \vec{n}' = \vec{a} \cdot \vec{n}'$.$\vec{a} \cdot \vec{n}' = (\hat{i} + \hat{j}) \cdot (\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) = 1 - 1 + 0 = 0$.अतः,समतल का समीकरण $\vec{r} \cdot (\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) = 0$ है।

रेखा $\vec{r} = (\hat{i} + \hat{j}) + \lambda(\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k})$ और $\vec{r} = (\hat{i} + \hat{j}) + \mu(-\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k})$ को समाहित करने वाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

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$(1, 2, 3)$ से गुजरने वाली और समतल $\vec{r} \cdot (\hat{i} + 2\hat{j} - 5\hat{k}) + 9 = 0$ के लंबवत रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।

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