समतल 8x+y+2z=0 और बिंदुओं A(-3,-6,1) तथा B(2, | vedclass

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Question

(B) बिंदुओं $A(-3,-6,1)$ और $B(2,4,-3)$ से गुजरने वाली रेखा का दिक सदिश $\vec{v} = (2 - (-3), 4 - (-6), -3 - 1) = (5, 10, -4)$ है।रेखा $AB$ का समीकरण

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$10$

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(B) बिंदुओं $A(-3,-6,1)$ और $B(2,4,-3)$ से गुजरने वाली रेखा का दिक सदिश $\vec{v} = (2 - (-3), 4 - (-6), -3 - 1) = (5, 10, -4)$ है।रेखा $AB$ का समीकरण $\frac{x-2}{5} = \frac{y-4}{10} = \frac{z+3}{-4} = \lambda$ है।इस रेखा पर कोई भी बिंदु $P(5\lambda+2, 10\lambda+4, -4\lambda-3)$ है।चूंकि $C$ समतल $8x+y+2z=0$ पर स्थित है,इसलिए $8(5\lambda+2) + (10\lambda+4) + 2(-4\lambda-3) = 0$ है।$40\lambda + 16 + 10\lambda + 4 - 8\lambda - 6 = 0 \implies 42\lambda + 14 = 0 \implies \lambda = -\frac{1}{3}$।$\lambda = -\frac{1}{3}$ रखने पर,$C = (\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{5}{3})$ प्राप्त होता है।रेखा $L$ का समीकरण $\frac{x-1}{-1} = \frac{y+4}{2} = \frac{z+2}{3} = \mu$ है। $L$ पर कोई भी बिंदु $D(-\mu+1, 2\mu-4, 3\mu-2)$ है।सदिश $\vec{CD} = (-\mu+\frac{2}{3}, 2\mu-\frac{14}{3}, 3\mu-\frac{1}{3})$ है।चूंकि $CD \perp L$,इसलिए $\vec{CD}$ और $L$ के दिक सदिश $(-1, 2, 3)$ का डॉट गुणनफल $0$ है।$-1(-\mu+\frac{2}{3}) + 2(2\mu-\frac{14}{3}) + 3(3\mu-\frac{1}{3}) = 0$।$\mu - \frac{2}{3} + 4\mu - \frac{28}{3} + 9\mu - 1 = 0 \implies 14\mu = 11 \implies \mu = \frac{11}{14}$।$\mu = \frac{11}{14}$ रखने पर,$\vec{CD} = (-\frac{5}{42}, -\frac{70}{42}, \frac{85}{42})$ प्राप्त होता है।दिक अनुपात $(1, 14, -17)$ हैं। $|a+b+c| = |1 + 14 - 17| = 2$। दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $10$ है।

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यदि बिंदु $(1, \alpha, \beta)$ रेखाओं $\frac{x+2}{-3}=\frac{y-2}{4}=\frac{z-5}{2}$ और $\frac{x+2}{-1}=\frac{y+6}{2}, z=1$ के बीच की न्यूनतम दूरी की रेखा पर स्थित है,तो $\alpha+\beta=$

रेखा $\bar{r}=(\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k})+\lambda(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})$ और समतल $\bar{r} \cdot (2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})=4$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

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