बिंदु (-1, 2, 3) की समतल vec{r} cdot (hat{i} | vedclass

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Question

(C) मान लीजिए रेखाएँ $L_1: \vec{r} = (\hat{i} - \hat{j}) + \lambda(2\hat{i} + \hat{k})$ और $L_2: \vec{r} = (2\hat{i} - \hat{j}) + \mu(\hat{i} - \hat{j

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$2\sqrt{6}$

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(C) मान लीजिए रेखाएँ $L_1: \vec{r} = (\hat{i} - \hat{j}) + \lambda(2\hat{i} + \hat{k})$ और $L_2: \vec{r} = (2\hat{i} - \hat{j}) + \mu(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k})$ हैं।न्यूनतम दूरी की रेखा की दिशा का सदिश $L_1$ और $L_2$ के दिशा सदिशों के क्रॉस गुणनफल द्वारा प्राप्त होता है:$\vec{n} = (2\hat{i} + \hat{k}) 	imes (\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 2 & 0 & 1 \ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$.बिंदु $P(-1, 2, 3)$ से गुजरने वाली और $\vec{n}$ के समांतर रेखा का समीकरण $\frac{x+1}{1} = \frac{y-2}{-1} = \frac{z-3}{-2} = r$ है।इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(r-1, 2-r, 3-2r)$ है।समतल $\vec{r} \cdot (\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}) = 10$ के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु खोजने के लिए,हम निर्देशांकों को समतल के समीकरण में रखते हैं:$(r-1) - 2(2-r) + 3(3-2r) = 10$$r - 1 - 4 + 2r + 9 - 6r = 10$$-3r + 4 = 10 \Rightarrow -3r = 6 \Rightarrow r = -2$.प्रतिच्छेदन बिंदु $Q$ $(-3, 4, 7)$ है।दूरी $PQ = \sqrt{(-3 - (-1))^2 + (4 - 2)^2 + (7 - 3)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.

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