मान लीजिए a = min {x^{2} + 2x + 3 : x in R} औ | vedclass

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Question

(C) सबसे पहले, $a = \min \{x^{2} + 2x + 3\}$ ज्ञात करें। द्विघात समीकरण $Ax^{2} + Bx + C$ का न्यूनतम मान $\frac{4AC - B^{2}}{4A}$ द्वारा दिया जाता है।

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$\frac{4^{n+1}-1}{3 \cdot 2^{n}}$

Vedclass · Answer

(C) सबसे पहले, $a = \min \{x^{2} + 2x + 3\}$ ज्ञात करें। द्विघात समीकरण $Ax^{2} + Bx + C$ का न्यूनतम मान $\frac{4AC - B^{2}}{4A}$ द्वारा दिया जाता है। यहाँ $A=1, B=2, C=3$ है, इसलिए $a = \frac{4(1)(3) - (2)^{2}}{4(1)} = \frac{12 - 4}{4} = 2$ है। अगला, $b = \lim_{	heta ightarrow 0} \frac{1 - \cos 	heta}{	heta^{2}}$ ज्ञात करें। सर्वसमिका $1 - \cos 	heta = 2 \sin^{2}(	heta/2)$ का उपयोग करते हुए, हमें $b = \lim_{	heta ightarrow 0} \frac{2 \sin^{2}(	heta/2)}{	heta^{2}} = \lim_{	heta ightarrow 0} \frac{2 \sin^{2}(	heta/2)}{4(	heta/2)^{2}} = \frac{2}{4}(1)^{2} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है। अब, योग $S = \sum_{r=0}^{n} a^{r} b^{n-r} = \sum_{r=0}^{n} 2^{r} (\frac{1}{2})^{n-r} = \sum_{r=0}^{n} 2^{r} \cdot 2^{r-n} = \sum_{r=0}^{n} 2^{2r-n} = 2^{-n} \sum_{r=0}^{n} 4^{r}$ का मूल्यांकन करें। यह $n+1$ पदों वाली एक गुणोत्तर श्रेणी है, जिसका प्रथम पद $1$ और सार्व अनुपात $4$ है। योग $2^{-n} \left[ \frac{1(4^{n+1} - 1)}{4 - 1} ight] = 2^{-n} \left[ \frac{4^{n+1} - 1}{3} ight] = \frac{4^{n+1} - 1}{3 \cdot 2^{n}}$ है।

मान लीजिए $a = \min \{x^{2} + 2x + 3 : x \in R\}$ और $b = \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{1 - \cos \theta}{\theta^{2}}$. तब $\sum_{r=0}^{n} a^{r} b^{n-r}$ है

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