मान लीजिए rho_{1} और rho_{2} एक अरिक्त समुच्च | vedclass

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Question

(B) एक तुल्यता संबंध को स्वतुल्य, सममित और संक्रामक होना चाहिए। $1$. सर्वनिष्ठ: यदि $\rho_{1}$ और $\rho_{2}$ तुल्यता संबंध हैं, तो $\rho_{1} \cap \rho

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$\rho_{1} \cap \rho_{2}$ एक तुल्यता संबंध है लेकिन $\rho_{1} \cup \rho_{2}$ नहीं है।

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(B) एक तुल्यता संबंध को स्वतुल्य, सममित और संक्रामक होना चाहिए। $1$. सर्वनिष्ठ: यदि $\rho_{1}$ और $\rho_{2}$ तुल्यता संबंध हैं, तो $\rho_{1} \cap \rho_{2}$ हमेशा स्वतुल्य, सममित और संक्रामक होता है। अतः, $\rho_{1} \cap \rho_{2}$ एक तुल्यता संबंध है। $2$. सम्मिलन: सम्मिलन $\rho_{1} \cup \rho_{2}$ हमेशा स्वतुल्य और सममित होता है, लेकिन यह आवश्यक रूप से संक्रामक नहीं होता है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए $S = \{1, 2, 3\}$ है। मान लीजिए $\rho_{1} = \{(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,1)\}$ और $\rho_{2} = \{(1,1), (2,2), (3,3), (2,3), (3,2)\}$ है। तो $\rho_{1} \cup \rho_{2}$ में $(1,2)$ और $(2,3)$ शामिल हैं, लेकिन $(1,3)$ शामिल नहीं है, इसलिए यह संक्रामक नहीं है। अतः, $\rho_{1} \cap \rho_{2}$ एक तुल्यता संबंध है, लेकिन $\rho_{1} \cup \rho_{2}$ आवश्यक रूप से तुल्यता संबंध नहीं है।

मान लीजिए $\rho_{1}$ और $\rho_{2}$ एक अरिक्त समुच्चय $S$ पर परिभाषित दो तुल्यता संबंध हैं। तो

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जाँच कीजिए कि क्या $\mathbb{R}$ में परिभाषित संबंध $R = \{(a, b) : a \leq b^3\}$ स्वतुल्य,सममित या संक्रामक है।

निम्नलिखित में से कौन सा संबंध $R$ एक तुल्यता संबंध (equivalence relation) है?

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