मान लीजिए $f:[a, b] \rightarrow R$ अंतराल $[a, b]$ में सतत है, $(a, b)$ में अवकलनीय है और $f(a)=0=f(b)$ है। तो

फलन $f(x) = x(x - 1)^2, x \in [0, 2]$ के लिए अंतराल $(0, 2)$ में माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) को संतुष्ट करने वाले $c$ का मान क्या है?

मान लीजिए $\psi_1:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$,$\psi_2:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$,$f:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$,और $g:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ ऐसे फलन हैं कि $f(0)=g(0)=0$,$\psi_1(x)=e^{-x}+x$ जहाँ $x \geq 0$,$\psi_2(x)=x^2-2x-2e^{-x}+2$ जहाँ $x \geq 0$,$f(x)=\int_{-x}^{x}(|t|-t^2)e^{-t^2} dt$ जहाँ $x>0$,और $g(x)=\int_0^{x^2} \sqrt{t} e^{-t} dt$ जहाँ $x>0$.
$(1)$ निम्नलिखित में से कौन सा कथन $TRUE$ (सत्य) है?
$(A)$ $f(\sqrt{\ln 3})+g(\sqrt{\ln 3})=\frac{1}{3}$
$(B)$ प्रत्येक $x>1$ के लिए,एक ऐसा $\alpha \in(1, x)$ मौजूद है कि $\psi_1(x)=1+\alpha x$
$(C)$ प्रत्येक $x>0$ के लिए,एक ऐसा $\beta \in(0, x)$ मौजूद है कि $\psi_2(x)=2x(\psi_1(\beta)-1)$
$(D)$ $f$ अंतराल $[0, \frac{3}{2}]$ पर एक वर्धमान फलन है
$(2)$ निम्नलिखित में से कौन सा कथन $TRUE$ (सत्य) है?
$(A)$ $\psi_1(x) \leq 1$,सभी $x>0$ के लिए
$(B)$ $\psi_2(x) \leq 0$,सभी $x>0$ के लिए
$(C)$ $f(x) \geq 1-e^{-x^2}-\frac{2}{3}x^3+\frac{2}{5}x^5$,सभी $x \in(0, \frac{1}{2})$ के लिए
$(D)$ $g(x) \leq \frac{2}{3}x^3-\frac{2}{5}x^5+\frac{1}{7}x^7$,सभी $x \in(0, \frac{1}{2})$ के लिए

$f:[2,10] \rightarrow R$ को $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}(x-6)^2-3, & x \leq 4 \\ x-5, & x > 4 \end{cases}$ के रूप में परिभाषित किया गया है। निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

$f(x)=\sqrt{x^2-x}, x \in[1,4]$ के लिए लैग्रेंज माध्य मान प्रमेय के अनुसार $c$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $f(x)$, $[2,7]$ में एक अवकलनीय फलन है। यदि $f(2)=3$ और $(2,7)$ में सभी $x$ के लिए $f^{\prime}(x) \leq 5$ है, तो $x=7$ पर $f(x)$ का अधिकतम संभव मान क्या है?