मान लीजिए f अंतराल [0, pi / 2] में परिभाषित ए | vedclass

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Question

(C) दिया गया है कि $\int_0^x \sqrt{1-\left(f^{\prime}(t)\right)^2} dt = \int_0^x f(t) dt$। लेबनिज नियम का उपयोग करते हुए दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्

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$f(4/3) < 4/3$ और $f(2/3) < 2/3$

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(C) दिया गया है कि $\int_0^x \sqrt{1-\left(f^{\prime}(t)\right)^2} dt = \int_0^x f(t) dt$। लेबनिज नियम का उपयोग करते हुए दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें $\sqrt{1-\left(f^{\prime}(x)\right)^2} = f(x)$ प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, $1 - (f^{\prime}(x))^2 = f^2(x)$, जिसका अर्थ है कि $(f^{\prime}(x))^2 = 1 - f^2(x)$। अतः, $f^{\prime}(x) = \pm \sqrt{1 - f^2(x)}$। चरों को अलग करने पर, $\int \frac{df}{\sqrt{1-f^2}} = \pm \int dx$, जो $\sin^{-1}(f(x)) = \pm x + C$ देता है। चूंकि $f(0) = 0$, इसलिए $\sin^{-1}(0) = 0 + C$, जिसका अर्थ है $C = 0$। अतः, $f(x) = \sin(x)$ या $f(x) = -\sin(x)$। चूंकि $f$ अंतराल $[0, \pi/2]$ पर गैर-ऋणात्मक है, इसलिए $f(x) = \sin(x)$ होना चाहिए। हम जानते हैं कि $x > 0$ के लिए, $\sin(x) इसलिए, $f(4/3) = \sin(4/3) < 4/3$ और $f(2/3) = \sin(2/3) < 2/3$ है।

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