मान लीजिए A = begin{bmatrix} 3 & -4 1 & -1 e | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 3 & -4 \ 1 & -1 \end{bmatrix}$। हम $A = I + M$ लिख सकते हैं, जहाँ $M = \begin{bmatrix} 2 & -4 \ 1 & -2 \end{bma

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(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 3 & -4 \ 1 & -1 \end{bmatrix}$। हम $A = I + M$ लिख सकते हैं, जहाँ $M = \begin{bmatrix} 2 & -4 \ 1 & -2 \end{bmatrix}$ है।$M^2$ की गणना करने पर: $M^2 = \begin{bmatrix} 2 & -4 \ 1 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -4 \ 1 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4-4 & -8+8 \ 2-2 & -4+4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 \end{bmatrix} = O$।चूंकि $M^2 = O$, इसलिए सभी $k \geq 2$ के लिए $M^k = O$ होगा।आव्यूहों के लिए द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए: $A^{100} = (I + M)^{100} = I^{100} + \binom{100}{1} I^{99} M + \binom{100}{2} I^{98} M^2 + \dots = I + 100M$।दिया गया है कि $A^{100} = 100B + I$, इसलिए $I + 100M = 100B + I$, जिसका अर्थ है कि $B = M = \begin{bmatrix} 2 & -4 \ 1 & -2 \end{bmatrix}$।चूंकि $B^2 = M^2 = O$, इसलिए $B^{100} = O = \begin{bmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 \end{bmatrix}$।$B^{100}$ के सभी अवयवों का योग $0 + 0 + 0 + 0 = 0$ है।

मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$ और $B$ दो आव्यूह इस प्रकार हैं कि $A^{100} = 100B + I$ है। तो $B^{100}$ के सभी अवयवों का योग . . . . . . है।

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